Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

C=(-1+1/3)^n=(-2/3)^n

c: Số hạng tổng quát là:

\(C^k_{10}\cdot\left(2x^2\right)^{10-k}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^k\left(0< =k< =10\right)\)

\(=C^k_{10}\cdot2^{10-k}\cdot x^{20-2k}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^k\)

Số hạng chứa x^10 là số hạng có 20-2k=10

=>k=5

=>Số hạng đó là \(C^5_{10}\cdot2^{10-5}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^5\cdot x^{10}=-\dfrac{896}{27}x^{10}\)

Số hạng chứa x^16 là khi 20-2k=16

=>k=2

=>Số hạng đó là \(C^2_{10}\cdot2^8\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2\cdot x^{16}=C^2_{10}\cdot\dfrac{256}{9}x^{16}\)

Số hạng chứa x^6 là khi 20-2k=6

=>k=7

=>Số hạng đó là \(C^7_{10}\cdot2^3\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^7\cdot x^6\)

d: \(\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right)^{12}\)

Số hạng tổng quát là \(C^k_{12}\cdot\left(\dfrac{x}{3}\right)^{12-k}\cdot\left(-\dfrac{3}{x}\right)^k\)

\(=C^k_{12}\cdot\dfrac{x^{12-k}}{3^{12-k}}\cdot\dfrac{\left(-3\right)^k}{x^k}=C^k_{12}\cdot\dfrac{\left(-3\right)^k}{3^{12-k}}\cdot x^{12-2k}\)

Số hạng chứa x^4 thì 12-2k=4

=>2k=8

=>k=4

=>Số hạng đó là \(C^4_{12}\cdot\dfrac{\left(-3\right)^4}{3^8}=C^4_{12}\cdot\dfrac{1}{3^4}\)

\(\left(x+\dfrac{2}{x^2}\right)^7\)

Số hạng tổng quát là: \(C^k_7\cdot x^{7-k}\cdot\left(\dfrac{2}{x^2}\right)^k=C^k_7\cdot x^{7-k}\cdot\dfrac{2^k}{x^{2k}}=C^k_7\cdot2^k\cdot x^{7-3k}\)

Số hạng chứa x^4 thì 7-3k=4

=>3k=3

=>k=1

=>Hệ số là \(C^1_7\cdot2^1=7\cdot2=14\)

\(\left(1+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^k\) có hệ số số hạng chứa \(x^9\) dạng \(C_n^9\)

Do đó \(a_9=C_9^9+C_{10}^9+...+C_{14}^9=...\)

mờ nhỉ

10

Xét khai triển:

\(\left(x+2\right)^{2013}=C_{2013}^0.2^{2013}+C_{2013}^1x.2^{2012}+C_{2013}^2x^22^{2011}+...+C_{2013}^{2013}x^{2013}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(2013\left(x+2\right)^{2012}=C_{2013}^12^{2012}+2C_{2013}^2x.2^{2011}+...+2013C_{2013}^{2013}x^{2012}\)

\(\Rightarrow2013x\left(x+2\right)^{2012}=xC_{2013}^12^{2012}+2C_{2013}^2x^2.2^{2011}+...+2013C_{2013}^{2013}x^{2013}\)

Tiếp tục đạo hàm 2 vế:

\(2013\left(x+2\right)^{2012}+2012.2013x\left(x+2\right)^{2011}=C_{2013}^12^{2012}+2^2C_{2013}^2x.2^{2011}+...+2013^2C_{2013}^{2013}x^{2012}\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow2013.3^{2012}+2012.2013.3^{2011}=1^2C_{2013}^12^{2012}+2^2C_{2013}^22^{2011}+...+2013^2C_{2013}^{2013}\)

\(\Rightarrow S=2013.3^{2012}+2012.2013.3^{2011}=2013.3^{2011}\left(3+2012\right)=2013.2015.3^{2011}\)

11.

Ta có: 

\(\dfrac{1}{k+1}C_n^k=\dfrac{1}{k+1}.\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k\right)!}=\dfrac{1}{n+1}.\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(k+1\right)!\left[\left(n+1\right)-\left(k+1\right)\right]!}\)

\(=\dfrac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}\)

Do đó:

\(S=\dfrac{1}{2}.C_{2n}^1+\dfrac{2}{4}C_{2n}^3+...+\dfrac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}\)

\(=\dfrac{1}{2n+1}C_{2n+1}^2+\dfrac{1}{2n+1}C_{2n+1}^4+...+\dfrac{1}{2n+1}C_{2n+1}^{2n}\)

\(=\dfrac{1}{2n+1}\left(C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}\right)\) 

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1x+C_{2n+1}^2x^2+...+C_{2n+1}^{2n+1}x^{2n+1}\) (1)

Thay \(x=1\) vào (1):

\(\Rightarrow2^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^2+...+C_{2n+1}^{2n+1}\) (2)

Thay \(x=-1\) vào (1):

\(0=C_{2n+1}^0-C_{2n+1}^1x+C_{2n+1}^2-....+C_{2n+1}^{2n}-C_{2n+1}^{2n+1}\) (3)

Cộng vế (2) và (3):

\(2^{2n+1}=2C_{2n+1}^0+2C_{2n+1}^2+...+2C_{2n+1}^{2n}\)

\(\Rightarrow C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}=2^{2n}\)

\(\Rightarrow C_{2n+1}^2+C_{2n+1}^4+...+C_{2n+1}^{2n}=2^{2n}-C_{2n+1}^0=2^{2n}-1\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{2n+1}\left(2^{2n}-1\right)=\dfrac{2^{2n}-1}{2n+1}\)

7.

Bài toán: từ 1 nhóm có 2n người, bao gồm đúng n nam và n nữa, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra n người khác nhau.

- Cách chọn thứ nhất:  chọn n người từ 2n người, có \(C_{2n}^n\) cách

- Cách chọn thứ 2: giả sử trong n người được chọn, có k nam và n-k nữ (với k từ 0 tới n)

Chọn k nam từ n nam: có \(C_n^k\) cách, chọn n-k nữ từ n nữ, có \(C_n^{n-k}=C_n^k\) cách

\(\Rightarrow\) có \(\sum\limits^n_{k=0}C_n^k.C_n^k=\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2\)

Do 2 cách chọn đều có kết quả giống nhau, suy ra: 

\(C_{2n}^n=\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2=\left(C_n^0\right)^2+\left(C_n^1\right)^2+...+\left(C_n^n\right)^2\)

Thay \(n=2014\Rightarrow\left(C_{2014}^0\right)^2+\left(C_{2014}^1\right)^2+...+\left(C_{2014}^{2014}\right)^2=C_{4028}^{2014}\)

8.

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)

Đạo hàm 2 vế:

\(n\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+...+nC_n^nx^{n-1}\)

Thay \(x=1\) vào đẳng thức trên ta được:

\(n.2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^n\)

\(\Rightarrow n.2^{n-1}=n.2^{2013}\)

\(\Rightarrow n-1=2013\)

\(\Rightarrow n=2014\)

Câu 8 nếu ko sử dụng đạo hàm thì còn cách khác như sau:

Ta có:

\(kC_n^k=k.\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k!\right)}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\left[\left(n-1\right)-\left(k-1\right)\right]!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)

Từ đó ta có:

\(1.C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^n=nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+nC_{n-1}^{n-1}\)

\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)

\(=n.2^{n-1}\)

\(\Rightarrow n.2^{n-1}=n.2^{2013}\Rightarrow n=2014\)

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^{2013}=C_{2013}^0+C_{2013}^1.x+C_{2013}^2x^2+...+C_{2013}^{2013}x^{2013}\)

Thay \(x=3\) ta được:

\(4^{2013}=C_{2013}^0+3C_{2013}^1+3^2C_{2013}^2+...+3^{2013}C_{2013}^{2013}\)

Vậy \(S=4^{2013}\)

\(f\left(x\right)=\sum\limits^3_{i=0}C_3^i\left(x+x^2\right)^i.\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}\sum\limits^{15}_{k=0}C_{15}^k\left(2x\right)^k\)

\(=\sum\limits^3_{i=0}\sum\limits^i_{j=0}C_3^i.C_i^jx^j.\left(x^2\right)^{i-j}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}\sum\limits^{15}_{k=0}C_{15}^k.2^k.x^k\)

\(=\sum\limits^3_{i=0}\sum\limits^i_{j=0}\sum\limits^{15}_{k=0}C_3^iC_i^jC_{15}^k\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}.2^k.x^{2i+k-j}\)

Số hạng chứa \(x^{13}\) thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le3\\0\le j\le i\\0\le k\le15\\2i+k-j=13\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left(i;j;k\right)=\left(0;0;13\right);\left(1;0;12\right);\left(1;1;11\right);\left(2;0;11\right);\left(2;1;10\right);\left(2;2;9\right);\left(3;0;10\right);\left(3;1;9\right)\)

\(\left(3;2;8\right);\left(3;3;7\right)\) (quá nhiều)

Hệ số....