Bài 3: Lôgarit

Đề là \(log_2\left(x+2^{y-1}\right)-2^y=y-2x\) đúng ko nhỉ?

Đặt \(log_2\left(x+2^{y-1}\right)=z>0\)

\(\Rightarrow x+2^{y-1}=2^z\)

Ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}z-2^y=y-2x\\x+2^{y-1}=2^z\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z-2^y=y-2x\\2.2^z=2x+2^y\end{matrix}\right.\)

Cộng vế: \(\Rightarrow2^{z+1}+z=2^{y+1}+y\)

Hàm \(f\left(t\right)=2^{t+1}+t\) có \(f'\left(t\right)=2^{t+1}.ln2+1>0\) nên đồng biến trên miền xác định

\(\Rightarrow z=y\)

Thế vào \(z-2^y=y-2x\Rightarrow y-2^y=y-2x\)

\(\Rightarrow2^y=2x\Rightarrow y=log_2\left(2x\right)\)

Ứng với mỗi giá trị của x cho đúng 1 giá trị của y và ngược lại

Do \(2< x< 20210\Rightarrow2< y< log_2\left(2.20210\right)\approx15,1\)

\(\Rightarrow y=\left\{3;4;5;...;15\right\}\) có 13 giá trị nên có 13 cặp thỏa mãn

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x.\left(\dfrac{4}{3}\right)^{\dfrac{4}{x}}=\dfrac{9}{16}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-\dfrac{4}{x}}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^{x-\dfrac{4}{x}}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\)

\(\Rightarrow x-\dfrac{4}{x}=2\)

\(\Rightarrow x^2-2x-4=0\)

Viet: \(x_1+x_2=2\)

Với \(x\le3\) hiển nhiên ko thỏa mãn nên ta chỉ cần xét với \(x>3\)

\(\Leftrightarrow\left(x^{log_5m}+3\right)^{log_5m}=x-3\)

Đặt \(log_5m=k>1\Rightarrow\left(x^k+3\right)^k=x-3\)

Đặt \(x^k+3=t>3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^k=t-3\\t^k=x-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^k-t^k=t-x\)

\(\Rightarrow x^k+x=t^k+t\)

Hàm \(f\left(u\right)=u^k+u\) có \(f'\left(u\right)=k.u^{k-1}+1>0\Rightarrow f\left(u\right)\) đồng biến khi \(u>3\)

\(\Rightarrow x=t\)

\(\Rightarrow x^k+3=x\Rightarrow x^k-x+3=0\)

Với \(k>1\) ta có \(f\left(x\right)=x^k-x+3\) có  \(f'\left(x\right)=k.x^{k-1}-1>1.3^0-1=0\) khi \(x>3\) nên hàm đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(3\right)=3^k>0\Rightarrow f\left(x\right)\) vô nghiệm

Vậy ko tồn tại \(m>1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

\(\Leftrightarrow log_2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=16\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{x^2+1}=a>0\\y+\sqrt{y^2+1}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ab=16\)

\(\sqrt{x^2+1}=a-x\Rightarrow x^2+1=a^2-2ax+x^2\)

\(\Rightarrow2ax=a^2-1\Rightarrow x=\dfrac{a^2-1}{2a}\)

Tương tự: \(y=\dfrac{b^2-1}{2b}\)

\(\Rightarrow P=x+y=\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2-1}{2b}=\dfrac{a+b}{2}-\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}\right)\)

\(=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b}{2ab}=\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+b}{32}=\dfrac{15}{32}\left(a+b\right)\ge\dfrac{15}{32}.2\sqrt{ab}=\dfrac{15}{4}\)

\(P_{min}=\dfrac{15}{4}\)

\(log_x\left(x^2y^3\right)=log_xx^2+log_xy^3=2+3log_xy\)

\(\Rightarrow2+3log_xy=1\Rightarrow log_xy=-\dfrac{1}{3}\)

\(N=\dfrac{log_x\left(x^2y^3\right)}{log_x\left(\dfrac{\sqrt[5]{x^3y^2}}{xy^3}\right)}=\dfrac{1}{log_x\left(\sqrt[5]{x^3y^2}\right)-log_xxy^3}=\dfrac{1}{log_x\sqrt[5]{x^3}+log_x\sqrt[5]{y^2}-\left(log_xx+log_xy^3\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}log_xy-\left(1+3log_xy\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}.\left(-\dfrac{1}{3}\right)-1-3.\left(-\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{15}{7}\)

$\log^2_3x=(\log_3x)^2$ bạn nhé.

Ủa mà đề là \(log_x^2\) của cái gì nhỉ? \(log_x^2y\) đúng ko?

Do x;y \(>1\Rightarrow log_xy>0\)

Đặt \(log_xy=a>0\Rightarrow log_x^2y+16log_yx=a^2+\dfrac{16}{a}=a^2+\dfrac{8}{a}+\dfrac{8}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64a^2}{a^2}}=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a^2=\dfrac{8}{a}\Rightarrow a=2\) hay \(log_xy=2\)

\(S=log_x\sqrt{x}+log_x\sqrt{y}=\dfrac{1}{2}log_xx+\dfrac{1}{2}log_xy=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.2=\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(t=log_3x\).

Phương trình ban đầu trở thành: \(t^2-mt+2m-7=0\) (*)

\(t_1+t_2=log_3\left(x_1x_2\right)=log_381=4\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thoả \(x_1x_2=81\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm \(t_1,t_2\) thoả \(t_1+t_2=4\):

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\m=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4\left(2m-7\right)\ge0\\m=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=4\)