Bài 3: Lôgarit

Xét \(f\left(x\right)=m-x\) (m là tham số).
\(Min_{\left[-2;2\right]}f\left(x\right)=f\left(2\right)=m-2;Max_{\left[-2;2\right]}=f\left(-2\right)=m+2\).
Để làm số xác định trên khoảng (-2;2) thì \(m-x>0\) trên khoảng (-2;2).
Suy ra \(Mix_{\left[-2;2\right]}f\left(x\right)\ge0\Leftrightarrow\) \(m-2\ge0\Leftrightarrow m\ge2\).

Lời giải:

Đặt \(\log_2x=t\Rightarrow x=2^t\).

Để \(x\in (0;1)\Leftrightarrow 0< 2^t< 1\Leftrightarrow t< 0\)

PT trở thành:

\(t^2+t+m=0\) và ta cần tìm m để pt có nghiệm âm

Điều kiện để pt có nghiệm: \(\Delta=1-4m\geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{4}\) (1)

Áp dụng hệ thức Viete, để PT có nghiệm âm thì:

\(\left\{\begin{matrix} t_1+t_2< 0\\ t_1t_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1< 0\\ m> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> 0\) (2)

Từ (1)(2) suy ra \(0< m\leq \frac{1}{4}\)

ta có : \(\log_ab=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a^{\dfrac{3}{2}}=b\Leftrightarrow\left(c+9\right)^{\dfrac{3}{2}}=b\)

ta có : \(\log_cd=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow c^{\dfrac{5}{4}}=d\)

\(\Rightarrow b-d=\left(c+9\right)^{\dfrac{3}{2}}-c^{\dfrac{5}{4}}\)

bài này dễ ***** bạn ơi

đàu tiên log a_b = 3/2 => log b_a = 2/3 => a= b^(2/3) =(\(\sqrt[3]{b}\))^2 nguyên dương

tương tự log c-d = 5/4 => log d_c = 4/5 => c= d^(4/5) =(\(\sqrt[5]{d}\))^4 nguyên dương .

<=> a-c = (\(\sqrt[3]{b}\))^2 - (\(\sqrt[5]{d}\))^4 = 9 <=> (\(\sqrt[3]{b}\) - (\(\sqrt[5]{d}\))^2 )( \(\sqrt[3]{b}\) + (\(\sqrt[5]{d}\))^2 ) = 9

do a,c nguyên dương nên 2 số trên nguyên dương và khác nhau, số bên phải ( nhác ghi lại ) lớn hơn vì có dấu cộng...

suy ra nghiệm là 1 và 9. suy ra \(\sqrt[3]{b}\) = 5 và (\(\sqrt[5]{d}\))^2 = 4

đến đây dệ ***** => b-d = 93

Bạn coi lại đề câu a, chỗ \(\log_5-x\) đó

b.

\(\Leftrightarrow9^x-3^x-2.3^x-2=0\)

\(\Leftrightarrow3^x\left(3^x-1\right)-2\left(3^x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3^x-2\right)\left(3^x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3^x=2\\3^x=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\log_32\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(16a^2+b^2+1\ge8ab+1\)

\(\Rightarrow log_{4a+5b+1}\left(16a^2+b^2+1\right)+log_{8ab+1}\left(4a+5b+1\right)\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\4a+5b+1=8ab+1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{4}\\b=3\end{matrix}\right.\)

Đáp án D

\(a;b>0\Rightarrow3a+2b+1>1\)

\(\Rightarrow log_{3a+2b+1}\left(9a^2+b^2+1\right)\) đồng biến

Mà \(9a^2+b^2\ge2\sqrt{9a^2b^2}=6ab\Rightarrow log_{3a+2b+1}\left(9a^2+b^2+1\right)\ge log_{3a+2b+1}\left(6ab+1\right)\)

\(\Rightarrow log_{3a+2b+1}\left(9a^2+b^2+1\right)+log_{6ab+1}\left(3a+2b+1\right)\ge log_{3a+2b+1}\left(6ab+1\right)+log_{6ab+1}\left(3a+2b+1\right)\ge2\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}log_{6ab+1}\left(3a+2b+1\right)=1\\3a=b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6ab+1=3a+2b+1\\b=3a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow18a^2+1=3a+6a+1\)

\(\Leftrightarrow18a^2-9a=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)