Bài 3: Hàm số liên tục

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^5-2m^2x^3-4x+m^2+1\) liên tục trên R 

=> f(x) liên tục trên \(\left[-2;0\right];\left[0;1\right];\left[1;2\right]\)

Ta có : \(f\left(-2\right)=-15m^2-23< 0;f\left(0\right)=m^2+1>0;f\left(1\right)=-2< 0\)

\(f\left(2\right)=17m^2+25>0\)  .

Suy ra : \(f\left(-2\right).f\left(0\right)< 0;f\left(0\right).f\left(1\right)< 0;f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\)

Chứng tỏ : p/t đã cho luôn có ít nhất 1 no \(\in\left(-2;0\right)\)  ; 1 no \(\in\left(0;1\right)\) ; 1 no \(\in\left(1;2\right)\)

=> P/t luôn có ít nhất 3 no thực \(\forall m\left(đpcm\right)\)

Câu 7 : H/s x/đ \(\Leftrightarrow x^2+5x+6\ne0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ne0\)  \(\Leftrightarrow x\ne-2;-3\)

Chọn B 

Câu 8 : A

b. ĐKXĐ: \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

\(y=\dfrac{sinx-cosx}{cosx}\)

\(\Rightarrow y'=\dfrac{\left(cosx+sinx\right)cosx+sinx\left(sinx-cosx\right)}{cos^2x}\)

\(\Leftrightarrow y'=\dfrac{sinx.cosx+cos^2x+sin^2x-cosx.sinx}{cos^2x}\)\(=\dfrac{1}{cos^2x}\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^4+3x^3+x-1\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(-1\right)=-4< 0\) ; \(f\left(3\right)=164>0\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(3\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có nghiệm trong khoảng (-1;3)

4a.

\(y=2x^2-tanx\Rightarrow y'=\left(2x^2\right)'-\left(tanx\right)'=4x-\dfrac{1}{cos^2x}\)

b.

\(y'=\left(3tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\right)'-\left(4sinx\right)'=3\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)'.\dfrac{1}{cos^2\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)}-4cosx\)

\(=\dfrac{3}{cos^2\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)}-4cosx\)

5a.

\(y'=\left(2x\right)'-\left(3sinx\right)'+\left(2cotx\right)'=2-3cosx-\dfrac{2}{sin^2x}\)

b.

\(y'=\left(cot\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right)'-\left(4cosx\right)'=\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)'.\dfrac{-1}{sin^2\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)}+4sinx\)

\(=-\dfrac{3}{sin^2\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)}+4sinx\)

a.

\(y'=\left(x^2\right)'-\left(cosx\right)'=2x-\left(-sinx\right)=2x+sinx\)

b.

\(y'=\left(3sinx\right)'+\left(2cosx\right)'=3cosx+\left(-2sinx\right)=3cosx-2sinx\)

c.

\(y'=\left(5cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)'=5\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)'.\left(-sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=-10sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

a.

\(y'=\left(x^2\right)'+\left(4sinx\right)'=2x+4cosx\)

b.

\(y'=\left(2x^3\right)'-\left(sinx\right)'+\left(2\right)'=6x^2-cosx\)

c.

\(y'=\left(5sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)'=5.\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)'.cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=5cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)

Em 2k8 nên e k chắc :((

Đặt f(x) = x^3 - 3x^2 - 1 = 0 => f(x) liên tục trên (3;4)

x = 3 => f(3) = -1 ; x = 4 => f(4) = 15

=> f(3) . f(4) = -15 < 0 => tồn tại no x thuộc (3;4) để f(x) = 0 ( đpcm ) 

Đề bài sai, ví dụ: với \(a=b=1\) thì \(x^2+x-1=0\) có 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) thỏa mãn yêu cầu

Nhưng \(x^2-2x+1=0\) có nghiệm kép, không phải hai nghiệm phân biệt

ĐKXĐ: \(x\ge2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}\right)^3+m\left(x-2\right)=1\)

Đặt \(\sqrt{x-2}=t\ge0\)

\(\Rightarrow t^3+mt^2=1\Leftrightarrow t^3+mt^2-1=0\)

Đặt \(f\left(t\right)=t^3+mt^2-1\)

Hàm \(f\left(t\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}f\left(t\right)=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\left(t^3+mt^2-1\right)=\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}t^3\left(1+\dfrac{m}{t}-\dfrac{1}{t^3}\right)=+\infty>0\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 giá trị \(t_0>0\) sao cho \(f\left(t_0\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(t_0\right)< 0\Rightarrow f\left(t\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;t_0\right)\) hay 1 nghiệm \(t>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm \(x=2+t^2>2\)