Bài 2: Cực trị hàm số

\(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)\)

Hàm có cực đại, cực tiểu khi \(m>0\), khi đó ta có tọa độ các cực trị:

\(A\left(0;m^4+2m\right)\) ; \(B\left(-\sqrt{m};m^4-m^2+2m\right)\) ; \(C\left(\sqrt{m};m^4-m^2+2m\right)\)

3 cực trị luôn tạo thành 1 tam giác cân tại A

Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow H\left(0;m^4-m^2+2m\right)\)

\(\Rightarrow AH=m^2\) ; \(BC=2\sqrt{m}\)

Tam giác ABC đều khi:

\(AH=\dfrac{BC\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow m^2=\sqrt{3m}\)

\(\Rightarrow m^4=3m\Rightarrow m=\sqrt[3]{3}\)

\(y'=-4x^3+4mx=-4x\left(x^2-m\right)\)

Hàm có 3 cực trị khi \(m>0\)

Khi đó ta luôn có:

\(x_1+x_2+x_3=0+\sqrt{m}-\sqrt{m}=0\)

\(\Rightarrow m>0\)

- Với \(m=1\) ktm

- Với \(m=-1\) thỏa mãn

- Với \(m\ne\pm1\) hàm có đúng 1 cực trị khi:

\(\left(m^2-1\right)\left(m-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\left(m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m>-1\)

Vậy \(m\ge-1;m\ne1\)

a

 y'=3x²-2(2m-3)x-(4m-15)           

để hs y có cực trị thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt

 Δ^,=(2m-3)²-3(4m-15)>0

<=> 4m²-24m+54>0

<=>(2m-6)²+18>0 với mọi m

=>  hs luôn có cực trị với mọi m