Tìm 8 số nguyên tố
thỏa mãn \(p_1^2+p_2^2+p_3^2+p^2_4+p^2_5+p^2_6+p_7^2=p_8^2\)
Tìm 8 số nguyên tố
thỏa mãn \(p_1^2+p_2^2+p_3^2+p^2_4+p^2_5+p^2_6+p_7^2=p_8^2\)
TH1: các số pi đều lớn hơn 2
do pi nguyên tố => pi có dạng 4n+1 hoặc 4n+3
=> pi2 chia 4 luôn dư 1
p12 + p22 + ... +p72 chia 4 dư 3
hay VT có dạng 4k+3
Mà VP là p82 ( với p8 là số chính phương ) có dạng 4t+1
=>TH1 vô nghiệm
TH2. có 1 số nguyên tố chẵn (=2) , các số còn lại lẻ
Giả sử số nguyên tố chẵn đó là p12 , khi đó VT là một chẵn VT >2
=> p8 phải là số chẵn => p8= 2 . Vì VT >2 , VP = 2
Vậy trường hợp này loại
TH3. số số p2 =2 là số chẵn ,giả sử có 2 số p1,p2
Khi đó p12 +p22 chia hết cho 8
=> p32 + p42 + ... + p72 chia 8 dư 7 => VT chia 8 dư 7
mà VP= p82 chia 8 dư 1
=> TH3 vô nghiệm
TH4: VT có 6 số = 2 , 1 số >2 , giả sử p1=p2 = ... =p6 =2 ,p7 > 2
24 + p72 =p82
giải hệ nghiệm nguyên
sau đó suy ra p7=5 , p8= 7
vậy các số cần tìm là 2,2,2,2,2,2,5,7
Tổng và hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? (bằng cách k được tính
6+7
3.10-2.9
383+972
11.13.17+19.23.29
17.5.6-17.29
Nếu k giải thích được thì có thể tính
6+7 =13(số nguyên tố) (vì chỉ có 2 tự nhiên là 1 và 13)
3.10-2.9=30-18=12(hợp số)(vì ngoài 1 và chính nó còn ước khác là 2;3;4;6;12)
383+972=1355(hợp số)(vì ngoài 1 và chính nó còn ước khác là 5)
11.13.17+19.23.29=15104(hợp số)(vì ngoài 1 và chính nó còn có ước khác là 2)
17.5.6-17.29=17(số nguyên tố)(vì chỉ có 2 ước tự nhiên là 1 và chính nó)
1) 6 và 7 có ƯCLN là 1 nên 6 + 7 là số nguyên tố.
2) Vì 3.10 chia hết cho 3, 2.9 chia hết cho 3 nên 3.10 - 2.9 chia hết cho 3 nên 3.10 - 2.9 là hợp số.
3) 383 + 972 có chữ số tận cùng là 5 nên 383 + 972 chia hết cho 5 nên 383 + 972 là hợp số.
4) Vì 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 là các số lẻ nên 11.13.17 , 19.23.29 là các số lẻ nên 11.13.17+19.23.29 là số chẵn nên 11.13.17+19.23.29 chia hết cho 2 nên 11.13.17+19.23.29 là hợp số.
5) Ta có 5.6-29=1 mà 17 là số nguyên tố nên 17.5.6 -17.29 là số nguyên tố.
Tìm số nguyên tố p sao cho p+14, p+16 cũng là số nguyên tố
Xét trường hợp: \(p=2\Rightarrow p+14=2+14=16\left(l\right)\)
Xét trường hợp: \(p=3\Rightarrow p+14=3+14=17;p+16=3+16=19\left(n\right)\)
Xét \(p>3\Rightarrow p\) có một trong hai dạng: \(3k+1;3k-1\)
+) Với \(p=3k+1\Rightarrow p+14=3k+1+14=3k+15⋮3\)
+) Với \(p=3k-1\Rightarrow p+16=3k-1+16=3k+15⋮3\)
Vậy số nguyên tố \(p=3\) thì \(p+14;p+16\) cùng là số nguyên tố.
a. Tìm số nguyên tố p sao cho p +10,p +14 đều là các số nguyên tố.
b. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 6, p + 14, p + 12 và p + 8 đều là các số nguyên tố.
c. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 và n + 15 đều là số nguyên tố.
d. Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ để n, n + 10, n + 14 là số nguyên tố.
Xét:
Nếu n=2 thì 2+10=12(hợp số) ; 2+14=16(hợp số) loại
Nếu n=3 thì 3+10=13(số nguyên tố);3+14=17(số nguyên tố ) chọn
Nếu n >3 thì sẽ được viết dưới dạng: 3k+1;3k+2
Với 3k+1 thì:
3k+1+14=3k+15(hợp số ) vì 3k là hợp số và 15 là hợp số(loại)
Với 3k+2 thì:
3k+2+10=3k+12(hợp số) (vì 3k là hợp số,12 cũng là hợp số)\
Vậy n=3
các câu sau làm tương tự
Chứng minh rằng:
a. Nếu p và 8p − 1 là hai số nguyên tố thì 8p + 1 là hợp số.
b.) Nếu p và 8p\(^2\)+1 là hai số nguyên tố thì 8p\(^2\)− 1 là số nguyên tố.
a. Tìm số nguyên tố p sao cho p +10,p +14 đều là các số nguyên tố.
Ta có: Xét:
Nếu p=2 thì:
\(p+10=12;p+14=16\)(hợp số,loại)
Nếu p=3 thì:
\(p+10=13;p+14=17\)(SNT,chọn)
Nếu p là SNT >3 thì có dạng:
\(3k+1;3k+2\)
\(+3k+1+14=3k+15\)(hợp số,loại)
\(3k+2+10=3k+12\)(hợp số.loại)
\(\Leftrightarrow p=3\)
a. Nếu p = 2k => p = 2 => p + 10 và p + 14 đều là hợp số. (không TM)
b. Nếu p = 2k + 1 thì p có dạng 3k, 3k + 1. 3k + 2
Nếu p = 3k => p = 3 => p + 10 = 13 và p + 14 = 17 (13;17 là số nguyên tố nên thỏa mãn)
Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) chia hết cho 3 (không TM vì là hợp số)
Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 10 + 2 = 3k + 12 = 3(k + 4) chia hết cho 3 (không TM vì là hợp số)
Vậy: p = 3 thì p + 10 và p + 14 là số nguyên tố.
Chứng minh rằng:
Nếu p và 8p − 1 là hai số nguyên tố thì 8p + 1 là hợp số.
Ta có: \(P\) là số nguyên tố.
* Xét \(P=3\) ta có \(8P-1=23\)là SNT
\(\Rightarrow\)\(8P+1=25\)là HS (T/m).
* Xét \(P\ne3\), \(P\) là SNT \(\Rightarrow P⋮3̸\)
\(\Rightarrow P\)là 1 trong các dạng \(3k+1,3k+2\left(k\in N\right)\)
Nếu \(P=3k+1\Rightarrow8P-1=8.\left(3k+1\right)-1=24k+8-1=24k+7\)
Ta thấy \(24k⋮3,7⋮3̸\)\(\Rightarrow8P-1⋮3̸\)
Mà \(P\) nguyên tố \(\Rightarrow8P-1>3\)
\(\Rightarrow8P-1\)là hợp số (loại).
\(\Rightarrow P=3k+2\Rightarrow8P+1=8.\left(3k+2\right)+1=24k+17\)
Ta thấy \(24k⋮3,17⋮3̸\)\(\Rightarrow8P+1⋮3̸\)
\(\Rightarrow8P+1>3\Rightarrow8P+1\)là hợp số (T/m).
Vậy nếu \(P\) và \(8P-1\)là 2 SNT thì \(8P+1\)là hợp số (Đpcm).
Chứng minh rằng:
Nếu p và 8p2+1 là hai số nguyên tố thì 8p2− 1 là số nguyên tố.
chúng minh rằng
Nếu p và 8\(p^2\)+1 là hai số nguyên tố thì 8\(p^2\)− 1 là số nguyên tố.
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu p và 8p2 + 1 là hai số nguyên tố thì 8p2 - 1 là số nguyên tố.
Giải: Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 thế thì p có dạng 3k \(\pm\) 1 (k \(\in\) N)
=> p2 = (3k + 1)2 = 3(3k2 \(\pm\) 2k) + 1 = 3t + 1
=> 8p2 +1 = 8( 3t + 1) + 1 = 24t + 9 \(⋮\)3 => 8p2 + 1 là hợp số (trái giả thiết)
Vậy p = 3k, p nguyên tố => p = 3
8p2 + 1 = 8.32 + 1 = 73 ( nguyên tố)
8p2 – 1 = 8.32 – 1 = 71 ( nguyên tố)
Vậy p và 8p2 + 1 là hai số nguyên tố thì 8p2 - 1 là số nguyên tố.
Nguồn: Google
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n+1, n+3, n+7, n+9, n+ 13, và n +15 đều là số nguyên tố
+) Nếu n=0 thì n+9=0+9=9 là hợp số => n=0 không thỏa mãn
+) Nếu n=1 thì n+3=1+3=4 là hợp số => n=1 không thỏa mãn
+) Nếu n=2 thì n+7=2+7=9 là hợp số => n=2 không thỏa mãn
+) Nếu n=3 thì n+1=3+1=4 là hợp số => n=3 không thỏa mãn
+) Nếu n=4 thì:
n+1=1+1=2 là số nguyên tố
n+3=4+3=7 là số nguyên tố
n+7=4+7=11 là số nguyên tố
n+9=4+9=13 là số nguyên tố
n+13=4+13=17 là số nguyên tố
n+15=4+15=19 là số nguyên tố
=> n=4 thỏa mãn các số n+1; n+3; n+7; n+9; n+13; n+15 đều là các số nguyên tố
+) Nếu \(n\ge5\) thì ta có:
\(n⋮5\Rightarrow\) \(n+15⋮5\) => n+15 là hợp số
n chia 5 dư 1 \(\Rightarrow n+9⋮5\) => n+9 là hợp số
n chia 5 dư 2 \(\Rightarrow n+3⋮5\) => n+3 là hợp số
n chia 5 dư 3 \(\Rightarrow n+7⋮5\) => n+7 là hợp số
n chia 5 dư 4 \(\Rightarrow n+1⋮5\) => n+1 là hợp số
==> \(n\ge5\) không thỏa mãn
Vậy n=4
Ta có: Xét:
+n=0\(n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15\)(hợp số,loại)
+n=1
\(n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16\)(hợp số,loại)
+n=2
\(n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17\)(hợp số,loại)
+n=3
\(n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18\)(hợp số,loại)
+n=4
\(n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19\)(SNT,chọn)
Nếu n>4 sẽ có dạng 4k+1;4k+2;4k+3
+n=4k+1
\(\Leftrightarrow n+3=4k+1+3=4k+4\)(hợp số,loại)
+n=4k+2
\(n+13=4k+2+13=4k+15\)(hợp số,loại)
+n=4k+3
\(n+3=4k+3+3=4k+6\)(hợp số,loại)
\(\Leftrightarrow n=4\)