Bài 1: Phân thức đại số.

\(M=\dfrac{T}{M}\)

\(T=x^2\left(x^2+1\right)+3x\left(x^2+1\right)-x+1\)

M khác 0 với mọi x=>

\(M=x^2+3x-\dfrac{x-1}{x^2+1}=x^2+3x-A\)

=M và x, thuộc Z=> A thuộc Z=> (x-1) chia hết cho x^2+1

=>Hiển nhiên x={0, 1} là nghiệm

với x khác 0, 1

cần \(\left|x-1\right|\ge x^2+1\)

chia khoảng

với x>1 \(\Rightarrow x^2-x+2\le0\Rightarrow Vô..N_0\)

với x<1 => x^2 +x<=0 => -1<=x<=0

x nguyen => x=-1

Kết luận

x={-1,0,1} là nghiệm

Dạ, thưa chị Xuân , em tìm được chị cũng là 1 kì tích trong đời người rồi đó, tạm gác qua chuyện đó, bây h coi em ra tay nè:

+) Tìm MinB:

\(B=\dfrac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}-\dfrac{1}{2}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{x^4+1-\dfrac{1}{2}x^4-x^2-\dfrac{1}{2}}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}x^4-x^2+\dfrac{1}{2}}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^4-2x^2+1}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(\text{Ta có}:\dfrac{1}{2}\cdot\left(x^2-1\right)^2\ge0\)

\(< =>\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}\ge0\)

\(< =>\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(x^2-1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Vậy Min B là \(\dfrac{1}{2}\) <=> x²-1=0 <=> (x-1)(x+1)=0 <=> x=1 hoặc x=-1.

P/s: Em biết rằng chị Xuân sẽ thắc mắc ko hiểu vì sao em biết tại sao phải cộng \(\dfrac{1}{2}\) vô, nhưng em sẽ ko tiết lộ đâu bởi vì đó là bí quyết riêng của em, thứ lỗi.

+) Tìm MaxB:

Ta có: \(x^4+1\ge1\)

\(x^4+2x^2+1\ge1\)

Suy ra: \(\dfrac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}\le\dfrac{1}{1}\)

\(< =>\dfrac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}\le1\)

Vậy Max B là 1 <=> x⁴=0 <=> x=0.

Phương pháp xe đạp lộn ngược

\(x^4+1\ne0\forall x\)

\(\dfrac{1}{B}=\dfrac{\left(x^4+2x^2+1\right)}{x^4+1}=1+\dfrac{2x^2}{x^4+1}=1+2A\)

\(A\ge0\) đẳng thức khi x=0

\(\Rightarrow\dfrac{1}{B}\ge0\Rightarrow B\le1\)

đẳng thức khi A=0=> x=0

xét khi \(x\ne0\)

\(\dfrac{1}{A}=\dfrac{x^4+1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\) đẳng thức x=+-1

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{B}\le2\Rightarrow B\ge\dfrac{1}{2}\)

đẳng thức khi A=1/2=> x=+-1

press \(x^2=a\left(a\ge0;a\ne-1\right)\)

\(B=\dfrac{a^2+1}{\left(a+1\right)^2}\Leftrightarrow B\left(a^2+2a+1\right)=a^2+1\)

\(\Leftrightarrow Ba^2+2Ba+B=a^2+1\Leftrightarrow\left(B-1\right)a^2+2Ba+\left(B-1\right)=0\)(1)

Phương trình ẩn a phải có nghiệm, xét

\(\Delta'=B^2-\left(B-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow1.\left(2B-1\right)\ge0\Leftrightarrow B\ge\dfrac{1}{2}\)

\(B=\dfrac{1}{2},Pt\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow x=1\)(tmdk)

Vậy B_Min=0,5 khi x=1(không có Max)

cần thêm giằng buộc gì nữa nếu không x,y,z càng lớn => M càng nhỏ

\(Q=\dfrac{x^2}{y\left(x+y\right)}+\dfrac{y^2}{y\left(x-y\right)}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)

\(=\dfrac{x^2\left(x-y\right)+y^2\left(x+y\right)}{y\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)

\(=\dfrac{x^3-x^2y+xy^2+y^3}{y\left(x^2-y^2\right)}+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)

\(=\dfrac{x^4-x^3y+x^2y^2+xy^3+x^4-y^4}{xy\left(x^2-y^2\right)}\)

\(=\dfrac{2x^4-x^3y+x^2y^2+xy^3-y^4}{xy\left(x^2-y^2\right)}\)

gợi ý :Đề cho \(x^2-x-1\ne0\), mà mẫu cũng khác 0

nên mẫu có hạng tử \(x^2-x-1\) chia \(x^4-x^2-2x-1/x^2-x-1\)

C₁:Biến đổi tương đương

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\dfrac{x}{xy}+\dfrac{y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)

C₂:Dùng AM-GM

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\);\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{y}}=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\)

Nhân theo vế 2 BĐT

\(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge4\sqrt{xy\cdot\dfrac{1}{xy}}=4\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

C₃:Dùng Cauchy-Schwarz (dạng Engel)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)

-3 cách trên đều có dấu "=" khi \(x=y\)

Dễ quá bỏ qua

âncsi hình sau mình nhìn muốn gãyy cổ rồi :v

B1 ở đây là phần a,e,h nhá