Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Nội dung lý thuyết

1. Phân thức đối

Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu như tổng của chúng bằng 0.

Ví dụ: 

+) \(\dfrac{2x}{x+3}\) là phân thức đối của \(\dfrac{-2x}{x+3}\) vì \(\dfrac{2x}{x+3}+\dfrac{-2x}{x+3}=0\). Ngược lại, \(\dfrac{-2x}{x+3}\) cũng là phân thức đối của \(\dfrac{2x}{x+3}\).

+) \(\dfrac{x-1}{x^2+2}\) là phân thức đối của \(\dfrac{1-x}{x^2+2}\) vì \(\dfrac{x-1}{x^2+2}+\dfrac{1-x}{x^2+2}=0\). Ngược lại \(\dfrac{1-x}{x^2+2}\) cũng là phân thức đối của \(\dfrac{x-1}{x^2+2}\).

Tổng quát: Với phân thức \(\dfrac{A}{B}\), ta có \(\dfrac{A}{B}+\dfrac{-A}{B}=0\), nên \(\dfrac{-A}{B}\) là phân thức đối của \(\dfrac{A}{B}\) và ngược lại, \(\dfrac{A}{B}\) là phân thức đối của \(\dfrac{-A}{B}\).

Phân thức đối của \(\dfrac{A}{B}\) được kí hiệu là \(-\dfrac{A}{B}\).

\(-\dfrac{A}{B}=\dfrac{-A}{B}\) và \(-\dfrac{-A}{B}=\dfrac{A}{B}\).

Ví dụ: Tìm phân thức đối của các phân thức sau:

a) \(\dfrac{x}{x-3}\);

b) \(\dfrac{3x-2}{x+1}\);

c) \(\dfrac{2-x}{x-x^2}\).

Lời giải:

a) Phân thức đối của \(\dfrac{x}{x-3}\) là \(-\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{-x}{x-3}\).

b) Phân thức đối của \(\dfrac{3x-2}{x+1}\) là \(-\dfrac{3x-2}{x+1}=\dfrac{-3x+2}{x+1}\).

c) Phân thức đối của \(\dfrac{2-x}{x-x^2}\) là \(-\dfrac{2-x}{x-x^2}=\dfrac{x-2}{x-x^2}\).

2. Phép trừ phân thức 

Ví dụ: Thực hiện phép tính \(\dfrac{2x}{x-1}-\dfrac{2}{x-1}\).

Như trên ta đã biết: \(-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{-2}{x-1}\), do đó, ta có thể viết phép tính trên như sau:

\(\dfrac{2x}{x-1}-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{-2}{x-1}\).

Đến đây, dùng quy tắc cộng phân thức đã học ở bài trước, ta có:

\(\dfrac{2x}{x-1}-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{-2}{x-1}=\dfrac{2x-2}{x-1}=\dfrac{2\left(x-1\right)}{x-1}=2.\)

Với các phép trừ phân thức khác, ta cũng có thể chuyển về phép cộng phân thức và áp dụng quy tắc đã học.

Quy tắc: Muốn trừ phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\), ta cộng \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức đối của \(\dfrac{C}{D}\).

\(\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left(-\dfrac{C}{D}\right).\)

Kết quả của phép trừ \(\dfrac{A}{B}\) cho \(\dfrac{C}{D}\) được gọi là hiệu của \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\).

Ví dụ: Thực hiện phép tính sau:

a) \(\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y}\);

b) \(\dfrac{2x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x^2+x}\).

Lời giải:

a) \(\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y}=\dfrac{y}{x-y}+\dfrac{-x}{x-y}=\dfrac{y-x}{x-y}=-1.\)

b) \(\dfrac{2x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x^2+x}=\dfrac{2x}{x^2-1}+\dfrac{-1}{x^2+x}=\dfrac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{-1}{x\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{2x^2}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{-\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{2x^2-\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{2x^2-x+1}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\).

@56834@ 

Chú ý: 

  • Ta cũng có thể thực hiện một dãy nhiều phép trừ tương tự như thực hiện một dãy nhiều phép cộng trong bài trước.
  • Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng tương tự như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a) \(\dfrac{x+1}{x-3}-\dfrac{1-x}{x+3}-\dfrac{2x\left(1-x\right)}{9-x^2}\);

b) \(\dfrac{3x+1}{\left(x-1\right)^2}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{x+3}{1-x^2}\).

Lời giải:

a) \(\dfrac{x+1}{x-3}-\dfrac{1-x}{x+3}-\dfrac{2x\left(1-x\right)}{9-x^2}\)

\(=\text{​​}\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{-\left(1-x\right)}{x+3}+\dfrac{-2x\left(1-x\right)}{9-x^2}\)

\(=\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{x-1}{x+3}+\dfrac{2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)+\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x+3x+3+x^2-3x-x+3+2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{2x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{2}{x-3}.\)

b) \(\dfrac{3x+1}{\left(x-1\right)^2}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{x+3}{1-x^2}\)

\(=\dfrac{3x+1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{-1}{x+1}+\dfrac{-x-3}{x^2-1}\)

\(=\dfrac{3x+1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{-1}{x+1}+\dfrac{-x-3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(3x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}+\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}+\dfrac{\left(-x-3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(3x+1\right)\left(x+1\right)-\left(x-1\right)^2+\left(-x-3\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}\)

\(=\dfrac{3x^2+3x+x+1-x^2+2x-1-x^2+x-3x+3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}\)

\(=\dfrac{x^2+4x+3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}=\dfrac{x+3}{\left(x-1\right)^2}.\)

@56838@@56848@