Xét các tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi V 1 , V 2 và V 3 lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB và quay tam giác OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Tính V 3 theo R khi biểu thức V 1 + V 2 đạt giá trị lớn nhất.
A. V 3 = 2 π 3 9 R 3
B. V 3 = 8 π 81 R 3
C. V 3 = 2 2 81 π R 3
D. V 3 = 18 − 6 2 9 π R 3
Đáp án B.
Đặt a = B C , b = C A , c = A B .
Quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA thì khối tròn xoay sinh ra là khối nón có chiều cao h 1 = R 2 − 1 4 b 2 và bán kính đáy r 1 = 1 2 b nên ta có V 1 = 1 3 π r 1 2 h 1 = 1 24 π b 2 4 R 2 − b 2 .
Tương tự, ta có
V 2 = 1 24 π c 2 4 R 2 − c 2 ; V 3 = 1 24 π a 2 4 R 2 − a 2 .
Bằng việc khảo sát hàm số f t = t 2 4 R 2 − t trên khoảng 0 ; 4 R 2 hoặc dựa vào bất đẳng thức Cô-si
1 2 b 2 . 1 2 b 2 . 4 R 2 − b 2 ≤ 1 2 b 2 + 1 2 b 2 + 4 R 2 − b 2 3 3 = 64 27 R 6 .
Ta được V 1 ≤ 2 π 3 9 R 3 ; V 2 ≤ 2 π 3 9 R 3 . Suy ra V 1 + V 2 ≤ 4 π 3 9 R 3 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = c = 2 6 3 R .
Vậy V 1 + V 2 đạt giá trị lớn nhất bằng 4 π 3 9 R 3 khi b = c = 2 6 3 R .
Khi đó tam giác ABC cân tại A và có A B = A C = 2 6 3 R .
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì 2 R . A H = A B 2 . Từ đó suy ra A H = A B 2 2 R = 4 3 R . Do đó O H = A H − R = 1 3 R và a = 2 R 2 − O H 2 = 4 2 3 R .
Suy ra V 3 = 8 π 81 R 3 .
