Lời giải:
Để \(x^4+x^2+1\vdots x^2+ax+b\) ta sẽ viết \(x^4+x^2+1\) dưới dạng:
\(x^4+x^2+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+\frac{1}{b})\)
Tất nhiên \(a,b,c\in\mathbb{Z}\) thì nó mới thỏa mãn tính chia hết.
Khai triển:
\(\Leftrightarrow x^4+x^2+1=x^4+x^3(c+a)+x^2(ac+b+\frac{1}{b})+x(\frac{a}{b}+bc)+1\)
Đồng nhất hệ số:
\(\left\{\begin{matrix} c+a=0\\ ac+b+\frac{1}{b}=1\\ \frac{a}{b}+bc=0\end{matrix}\right.\) . Thay \(c=-a\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b+\frac{1}{b}=1+a^2\\ \frac{a}{b}=ab\rightarrow a(b^2-1)=0\end{matrix}\right.\)
+) \(a=0\Rightarrow b+\frac{1}{b}=1\Leftrightarrow b^2+b-1=0\Leftrightarrow b=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\) (loại)
+) \(b=1\Rightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=\pm 1\)
+) \(b=-1\Rightarrow a^2=-1\) (loại)
Vậy \(a=\pm 1, b=1\)
