Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Trần Giang

với x,y,z>0 CMR 
(x^2+y^2+z^2)(1/x^2+1/y^2+1/z^2) >= (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)

Nguyễn Việt Lâm
31 tháng 3 2023 lúc 0:13

Với a;b;c dương ta có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)

Lại có:

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\)

Áp dụng:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2.\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(=\dfrac{1}{9}.9.\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)


Các câu hỏi tương tự
Dr.STONE
Xem chi tiết
nguyen phuong tram
Xem chi tiết
Là Tôi Tôi
Xem chi tiết
Nguyen tuan cuong
Xem chi tiết
bí mật ra
Xem chi tiết
Vũ Thùy Linh
Xem chi tiết
Lê Tuấn Nguyên
Xem chi tiết
TNgoc2k7
Xem chi tiết
Dương Thị Ngọc Ánh
Xem chi tiết