đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x;2y;3z\right)\)\(\Rightarrow\)\(abc=1\)
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\Sigma\frac{1}{a^3+b^3+1}\le1\)
\(VT\le\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=1\)
1) với x,y là số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
2) cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1. chứng minh \(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge2\)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + 2y + 3z = 3
Tìm giá trị lớn nhất của \(Q=\frac{88y^3-x^3}{2xy+16y^2}+\frac{297z^3-8y^3}{6yz+36z^2}+\frac{11x^3-27z^3}{3xz+4x^2}\)
Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xyz}\)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương thỏa mãn xyz=1
Chứng minh rằng \(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
\(\text{Cho x,y là các số thực dương và }x+y\le1\)
a)\(\text{Chứng minh rằng }\frac{x^3+y^3}{2}\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^3\)
b) \(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức }P=\left(1+x+\frac{1}{x}\right)^3+\left(1+y+\frac{1}{y}\right)^3\)
Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1.Chứng minh rằng:
\(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1.Chứng minh rằng:
\(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Giải bất phương trình: \(\frac{x-3}{3\sqrt{x+1}+x+3}>\frac{2\sqrt{9-x}}{x}\)
Cho \(2\sin\alpha+3\cos\alpha=2\).Tính \(\tan\alpha\)Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=4\)Chứng minh rằng:\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)3. Cho a,b,c > 0 và a + b +c =1. Chứng minh rằng: \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge64\)
