Question

Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, R, S lần lượt là trung điểm AB, BC, CD , DA. CMR: M, N, R ,S cùng nằm trên cùng 1 đường tròn.

mong các bạn giúp mình với

Answer 1

Xét ΔABD có

M,S lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MS là đường trung bình của ΔABD

=>MS//BD và \(MS=\dfrac{BD}{2}\)

Xét ΔCBD có

N,R lần lượt là trung điểm của CB,CD

=>NR là đường trung bình của ΔCBD

=>NR//BD và \(NR=\dfrac{BD}{2}\)

Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//AC

mà AC\(\perp\)BD

nên MN\(\perp\)BD

ta có: MN\(\perp\)BD

MS//BD

Do đó: MS\(\perp\)MN

Ta có: MS//BD

NR//BD

Do đó: MS//NR

Ta có: \(MS=\dfrac{BD}{2}\)

\(NR=\dfrac{BD}{2}\)

Do đó: MS=NR

Xét tứ giác MNRS có

MS//NR

MS=NR

Do đó: MNRS là hình bình hành

Hình bình hành MNRS có \(\widehat{NMS}=90^0\)

nên MNRS là hình chữ nhật

=>M,N,R,S cùng thuộc một đường tròn