Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ( 3 ; − 1 ; − 3 ) , B ( − 3 ; 0 ; − 1 ) , C ( − 1 ; − 3 ; 1 )  và mặt phẳng ( P ) : 2 x + 4 y + 3 z − 19 = 0 . Tọa độ M ( a , b , c )  thuộc (P) sao cho  M A → + 2 M B → + 5 M C →   đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a + b + c  bằng:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Answer 1

Đáp án C.

Gọi I x ; y ; z  thỏa mãn

I A → + 2 I B → + 5 I C → = 0 ⇒ x = 3 + 2. ( − 3 ) + 5. ( − 1 ) 8 = − 1 y = − 1 + 2.0 + 5. ( − 3 ) 8 = − 2 z = − 3 + 2. ( − 1 ) + 5.1 8 = 0  

⇒ I = ( − 1 ; − 2 ; 0 )  

Ta có

M A → + 2 M B → + 5 M C → = M I → + I A → + 2 M I → + 2 I B → + 5 M I → + 5 I C →  

= 8 M I → + I A → + 2 I B → + 5 I C → = 8 M I →  

⇒ M A → + 2 M B → + 5 M C →  min ⇔ 8 M I →  min <=> M là hình chiếu của I lên (P)

Gọi Δ  là đường thẳng đi qua I − 1 ; 2 ; 0  và vuông góc với

( P ) : 2 x + 4 y + 3 z − 19 = 0  có vectơ chỉ phương là 2 ; 4 ; 3 ⇒ Δ : x = − 1 + 2 t y = − 2 + 4 t z = 3 t  

Thế vào (P)

⇒ 2 ( − 1 + 2 t ) + 4 ( − 2 + 4 t ) + 3 ( 3 t ) − 19 ⇔ t = 1  

⇒ x = 1 y = 2 z = 3 ⇒ M 1 ; 2 ; 3 ⇒ a + b + c = 6