Question

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A − 1 ; 2 ; 2 , B 3 ; − 1 ; − 2  và C − 4 ; 0 ; 3 . Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức I A → − 2 I B → + 5 I C →  đạt giá trị nhỏ nhất.

A. I − 37 4 ; 0 ; 19 4

B. I − 27 4 ; 0 ; 21 4

C. I 37 4 ; 0 ; − 23 4

D. I 25 4 ; 0 ; − 19 4

Answer 1

Đáp án B.

Gọi M là điểm thỏa mãn 

M A → − 2 M B → + 5 M C → = 0 ⇔ M − 27 4 ; 1 ; 21 4

 Khi đó

I A → − 2 I B → + 5 I C → = I M → + M A → − 2 I M → + 5 I M → + 5 M C → = 4 I M → + 0 → = 4 I M →

Biểu thức   I A → − 2 I B → + 5 I C → đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ I M →  nhỏ nhất => I là hình chiếu của M trên mặt phẳng  O x z ⇔ I − 27 4 ; 0 ; 21 4   .

Bài toán tổng quát: Trong không gian cho các điểm A 1 , A 2 ,..., A n  và mặt phẳng P . Tìm điểm I trên mặt phẳng P  sao cho biểu thức k 1 I A 1 → + k 2 I A 2 → + ... + k n I A n →  đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó k 1 , k 2 ,..., k n  là những số thực và ∑ i = 0 n k i ≠ 0 .

Cách giải:

- Tìm điểm M thỏa mãn  k 1 M A 1 → + k 2 M A 2 → + ... + k n M A n → = 0   .

- Khi đó k 1 I A 1 → + k 2 I A 2 → + ... + k n I A n → = ∑ i = 1 n k i I M → .

- Do đó k 1 I A 1 → + k 2 I A 2 → + ... + k n I A n →  đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ I M →  nhỏ nhất =>   I là hình chiếu vuông góc của M trên  P   .