tới cần gấp lắmm!
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Lấy điểm M nằm giữa B,C . Tia AM cắt đoạn thẳng BD
và đường thẳng CD lần lượt tại E,G .
a) Chứng minh rằng: △ BEM ~ △ DEA và △ BEA~ △ DEG .
b) Chứng minh rằng: AE2 = EM .EG .
c) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
Chứng minh rằng AB.AI + AD.AK = AC2
a.
Xét hai tam giác BEM và DEA có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EBM}=\widehat{EDA}\left(\text{so le trong}\right)\\\widehat{BEM}=\widehat{DEA}\left(\text{đối đỉnh}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BEM\sim\Delta DEA\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{DE}{BE}\) (1)
Xét hai tam giác BEA và DEG có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BEA}=\widehat{DEG}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\\widehat{EBA}=\widehat{EDG}\left(\text{so le trong}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BEA\sim\Delta DEG\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{EG}=\dfrac{BE}{DE}\) (2)
b.
Nhân vế với vế (1) và (2) ta được:
\(\dfrac{AE}{EM}.\dfrac{AE}{EG}=\dfrac{DE}{BE}.\dfrac{BE}{DE}\Rightarrow\dfrac{AE^2}{EM.EG}=1\)
\(\Rightarrow AE^2=EM.EG\)
c.
Từ B và D lần lượt kẻ BF và DH vuông góc AC
Gọi O là giao điểm AC và BD \(\Rightarrow\) O là trung điểm BD \(\Rightarrow OB=OD\) và \(AO=OC=\dfrac{1}{2}AC\)
Xét hai tam giác vuông OHD và OFB có:
\(\left\{{}\begin{matrix}OD=OB\\\widehat{HOD}=\widehat{FOB}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta_{\perp}OHD=\Delta_{\perp}OFB\left(ch-gn\right)\Rightarrow OH=OF\)
\(\Rightarrow AH+AF=\left(AO-OH\right)+\left(AO+OF\right)=2AO=AC\)
Xét hai tam giác AFB và AIC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{FAB}-chung\\\widehat{AFB}=\widehat{AIC}=90^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AFB\sim\Delta AIC\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{AI}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AF.AC=AB.AI\)
Xét hai tam giác AHD và AKC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DAH}-chung\\\widehat{AHD}=\widehat{AKC}=90^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AHD\sim\Delta AKC\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AH}{AK}\Rightarrow AH.AC=AD.AK\)
\(\Rightarrow AB.AI+AD.AK=AF.AC+AH.AC=AC.\left(AH+AF\right)=AC.AC=AC^2\)
