Ta xét đẳng thức phụ : \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}=1^2+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+2\left[\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k\left(k-1\right)}+\frac{1}{k}\right]=\left(1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}}=\left|1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right|=1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)
Áp dụng được :
\(S=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}\)
\(=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(1+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\right)=2015+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}=2016-\frac{1}{2016}\)
