\(x^2-y^2+6y=10\\ \Leftrightarrow x^2-\left(y^2-6y+9\right)=1\\ \Leftrightarrow x^2-\left(y-3\right)^2=1\\ \Leftrightarrow\left(x+y-3\right)\left(x-y+3\right)=1\)
Bổ sung đề: Tìm x, y nguyên
Do đó x+y-3 và x-y+3 cũng là các giá trị nguyên
Mà: 1=1.1=(-1).(-1)
TH1: \(x+y-3=x-y+3=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\x-y=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=1\end{matrix}\right.\) (nhận)
TH2: \(x+y-3=x-y+3=-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\x-y=-4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=3\end{matrix}\right.\) (nhận)
Vậy (x;y)=(1;3);(-1;3)
Sửa đề: Tìm x, y nguyên
\(x^2-y^2+6y=10\\ \Leftrightarrow x^2-\left(y^2-6y+9\right)=10-9\\ \Leftrightarrow x^2-\left(y-3\right)^2=1\\ \Leftrightarrow\left(x-y+3\right)\left(x+y-3\right)=1\)
Vì x, y nguyên nên \(x-y+3;x+y-3\) có giá trị nguyên
\(\Rightarrow x-y+3;x+y-3\) là các ước của 1. Ta có các trường hợp sau:
\(+,\left\{{}\begin{matrix}x-y+3=1\\x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=-2\\x+y=4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\left(tm\right)\\y=3\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
\(+,\left\{{}\begin{matrix}x-y+3=-1\\x+y-3=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=-4\\x+y=2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\left(tm\right)\\y=3\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: ...
x2-y2+6x=10 (x,y là các số nguyên)
⇔(x-y)(x+y) + (3x +3y) + (3x-3y)=10
⇔(x-y)(x+y) + 3(x+y) + 3(x-y)=10
đặt x + y =a ; x-y =b
⇒ ab +3a+3b=10
⇔ab +3a+3b+9=19
⇔ a(b+3) + 3(b+3) =19
⇔(a+3)(b+3)= 19
Do 19 là số nguyên tố nên ta có 2 trường hợp
TH1: a+3 =1 và b+3 =19
⇔ a= -2 và b = 16
⇔ x+y = -2 và x-y =16
giải theo cách tiểu học ( tổng hiệu ) thì x = 7 và y = -9
TH2: a+3 =19 và b+3 = 1
⇔ a =16 và b = -2
⇔ x+y = 16 và x-y = -2
⇔ x = 7 và y = 9
Vậy (x;y) ϵ {(7;9);(7;-9)}
