Question

Tìm x để G=\(\frac{4x-1}{2x+3}\) đạt giá trị nguyên. Biết x ∈ N

Answer 1

tham khảo:

Bước 1: Điều kiện xác định
\(2 x + 3 \neq 0\) ⇒ \(x \neq - \frac{3}{2}\).
Nhưng vì \(x \in \mathbb{N}\), điều kiện này luôn đúng.

Bước 2: Đặt \(G = k \in \mathbb{Z}\)

\(\frac{4 x - 1}{2 x + 3} = k\)

Nhân chéo:

\(4 x - 1 = k \left(\right. 2 x + 3 \left.\right)\) \(4 x - 1 = 2 k x + 3 k\)

Bước 3: Chuyển vế

\(4 x - 2 k x = 3 k + 1\) \(x \left(\right. 4 - 2 k \left.\right) = 3 k + 1\)

Bước 4: Giải x

\(x = \frac{3 k + 1}{4 - 2 k}\)

Yêu cầu: \(x \in \mathbb{N}\) ⇒ mẫu phải chia hết tử và kết quả dương.

Bước 5: Thử các giá trị \(k\) nguyên
Ta phải tìm \(k\) sao cho \(\frac{3 k + 1}{4 - 2 k} \in \mathbb{N}\).

\(k = 0\): \(x = \frac{1}{4}\) (loại)\(k = 1\): \(x = \frac{4}{2} = 2\) ✔\(k = 2\): \(x = \frac{7}{0}\) (loại)\(k = 3\): \(x = \frac{10}{- 2} = - 5\) (loại)\(k = - 1\): \(x = \frac{- 2}{6}\) (loại)\(k = - 2\): \(x = \frac{- 5}{8}\) (loại)\(k = - 4\): \(x = \frac{- 11}{12}\) (loại)\(k = 0.5\) hay không nguyên → bỏ, vì \(k\) nguyên.

Bước 6: Kết luận
Chỉ có \(k = 1\) cho \(x = 2\) nguyên dương.

✅ Đáp án: \(x = 2\)

Answer 2

\(G=\frac{4x-1}{2x+3}=\frac{2\cdot\left(2x+3\right)-6-1}{2x+3}\)

\(=\frac{2\cdot\left(2x+3\right)-7}{2x+3}=2-\frac{7}{2x+3}\)

để G là số nguyên thì 2x+3 thuộc Ư(7) = \(\left\lbrace\pm1;\pm7\right\rbrace\)

vì x thuộc N nên \(x\ge0\)

\(\Rightarrow2x\ge0\Rightarrow2x+3\ge3\)

ta có: 2x + 3 = 7

⇒ 2x = 7 - 3 = 4

⇒ x = 4 : 2 = 2

vậy để G nhận giá trị nguyên thì x = 2