\(3^x+4^x=5^x\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x+\left(\dfrac{4}{5}\right)^x=1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x+\left(\dfrac{4}{5}\right)^x-1=0\)
Nhận thấy \(x=2\) là 1 nghiệm của pt
Xét hàm \(f\left(x\right)=\left(\dfrac{3}{4}\right)^x+\left(\dfrac{4}{5}\right)^x-1\)
\(f'\left(x\right)=\left(\dfrac{3}{4}\right)^x.ln\left(\dfrac{3}{4}\right)+\left(\dfrac{4}{5}\right)^x.ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\)
Do \(ln\left(\dfrac{3}{4}\right)< 0\) ; \(ln\left(\dfrac{4}{5}\right)< 0\) ; \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^x>0\) ; \(\left(\dfrac{4}{5}\right)^x>0\) ;\(\forall x\in R\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)< 0;\forall x\in R\)
\(\Rightarrow\) Hàm nghịch biến trên R nên chỉ có tối đa 1 nghiệm
Vậy \(x=2\) là nghiệm duy nhất của pt đã cho
