Question

Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c (có thể bằng nhau) biết rằng:    \(a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)=c\left(c+1\right)\)

Answer 1

Giả sử 2≤b≤a<c có a(a+1)=c(c+1)−b(b+1)=(c−b)(c+b+1)      (1)

Do a+1<c+b+1 từ (1)⇒c−b<a⇒c<a+b⇒c+b+1<a+2b+1⇒c+b+1<3a+1

c>a⇒c+b+1=2a hoặc c+b+1=3a

Vì a,b,c là các số nguyên tố , c>a⇒c lẻ ta có 2 trường hợp

TH1: c+b+1=2a; Do c+1 và 2a là số chẵn thì b là số nguyên tố chẵn nên b chẵn nên b=2

  Từ đó tìm ra 3a=11 (loại)

TH2: c+b+1=3a thay vào (1) có a+1=3(c−b) mà c=3a−b−1⇒a+1=3(3a−2b−1)⇒3b=4a−2⇒b chẵn ⇒b=2⇒a=2⇒c=3