Cách 1 : a4 + b4≥ a3.b + a.b3
Khi và chỉ khi a4 + b4 - a3.b - a.b3 ≥ 0
Khi và chỉ khi a3 (a - b) - b3 (a - b) ≥ 0
Khi và chỉ khi (a - b)(a3 - b3) ≥ 0 khi và chỉ khi (a - b)(a - b)(a2 + ab + b2) ≥ 0
Khi và chỉ khi (a - b)2[(a + b/2)2 + 3.b3/4] ≥ 0 (hiển nhiên đúng với mọi a,b)
Cách 2 : Ta có[ a2 - b2]2 ≥ 0
=> a4 - 2.a2.b2 + b4 ≥ 0
=> a4 + b4 ≥ 2.a2.b2
=> a4 + b4 + a4 + b4 ≥ a4 + b4 + 2.a2.b2
=> 2( a4 + b4) &ge ; ( a2 + b2)2 (1)
Mặt khác (a - b)2≥ 0
=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
=> a2 + b2≥2ab
=> (a2 + b2)( a2 + b2)≥2ab (a2 + b2)
=> (a2 + b2)2 ≥2ab (a2 + b2) (2)
Từ (1) và (2) => 2( a4 + b4 ) ≥ 2ab (a2 + b2)
=> ( a4 + b4 )≥ a3.b + a.b3
Cách 3 :
( a4 + b4 ) -( a3.b + a.b3) = 1/2 (2 a4 + 2 b4 - 2 a3.b -2 a.b3)
= 1/2 [(a4 - 2 a3.b +
