Question

TÌM SỐ DƯƠNG X,Y,Z SAO CHO

X+Y+Z=3 VÀ X⁴ +Y⁴ + Z⁴ =3XYZ

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)

Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

Tiếp tục use AM-GM:

\(x^2y^2+y^2z^2=y^2\left(x^2+z^2\right)\ge2xy^2z\)

Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:

\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow VT=x^4+y^4+z^4\ge3xyz=VP\left(vi`...x+y+z=3\right)\)

Khi \(x=y=z=1\)