Question

Tìm số dư của phép chia biểu thức A cho 13, biết:

A= 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²⁴

Answer 1

Lời giải:

$A=1+2+2^2+2^3+....+2^{2023}+2^{2024}$
$2A=2+2^2+2^3+2^4+....+2^{2024}+2^{2025}$

$\Rightarrow A=2A-A=2^{2025}-1$

Ta thấy:

$2^6\equiv -1\pmod {13}$

$\Rightarrow 2^{2025}=(2^6)^{337}.2^3\equiv (-1)^{337}.2^3\equiv -8\equiv 5\pmod {13}$

$\Rightarrow A=2^{2025}-1\equiv 5-1\equiv 4\pmod {13}$

Vậy $A$ chia $13$ dư $4$