Ta có \(VP=y\left(y+3\right)\left(y+1\right)\left(y+2\right)\)
\(VP=\left(y^2+3y\right)\left(y^2+3y+2\right)\)
\(VP=\left(y^2+3y+1\right)^2-1\)
\(VP=t^2-1\) (với \(t=y^2+3y+1\ge0\))
pt đã cho trở thành:
\(x^2=t^2-1\)
\(\Leftrightarrow t^2-x^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(t-x\right)\left(t+x\right)=1\)
Ta xét các TH:
| \(t-x\) | 1 | -1 |
| \(t+x\) | 1 | -1 |
| \(t\) | 1 | -1 |
| \(x\) | 0 |
0 |
Xét TH \(\left(t,x\right)=\left(1,0\right)\) thì \(y^2+3y+1=1\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-3\end{matrix}\right.\) (thử lại thỏa)
Xét TH \(\left(t,x\right)=\left(-1;0\right)\) thì \(y^2+3y+1=-1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\) (thử lại thỏa).
Vậy các bộ số nguyên (x; y) thỏa mãn bài toán là \(\left(0;y\right)\) với \(y\in\left\{-1;-2;-3;-4\right\}\)
