Question

Tìm n ∈ N *  sao cho 

C n 1 + 3 C n 2 + 7 C n 3 + . . . + 2 n - 1 C n n = 3 2 n - 2 n - 6480

A. n = 4

B. n = 5

C. n = 6

D. n = 7

Answer 1

Ta có

1 + x n = C n 0 + C n 1 x + C n 2 x 2 + C n 3 x 3 + . . . + C n n x n

Lấy đạo hàm hai vế, ta được

n 1 + x n - 1 = C n 1 + 2 C n 2 x + 3 C n 3 x 2 + . . . + n C n n x n - 1

Lấy tích phân hai vế, ta được:

n ∫ 1 2 1 + x n - 1 d x = C n 1 ∫ 1 2 d x + 2 C n 2 ∫ 1 2 x d x + 3 C n 3 ∫ 1 2 x 2 d x + . . . + n C n n ∫ 1 2 x n - 1 d x

Tính toán các tích phân trên, ta được:

C n 1 + 3 C n 2 + 7 C n 3 + . . . + 2 n - 1 C n n = 3 n - 2 n

Theo đề ta có: 

3 n - 2 n = 3 2 n - 2 n - 6480 ⇔ 3 2 n - 3 n - 6480 = 0

Giải phương trình mũ này ta tìm được n = 4. Vậy n = 4 là nghiệm của phương trình đã cho

Đáp án A