Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lizy

Tìm min `A=x^2 + xy + y^2- 3(x+y) +3`.

Toru
1 tháng 1 lúc 22:50

\(A=x^2+xy+y^2-3(x+y)+3\\2A=2x^2+2xy+2y^2-6(x+y)+6\\=(x^2+2xy+y^2)-4(x+y)+4+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)\\=(x+y)^2-4(x+y)+4+(x-1)^2+(y-1)^2\\=(x+y-2)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\)

Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-2\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+y-2\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow2A\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow A\ge0\forall x,y\)

Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=1\)

Vậy \(Min_A=0\) khi \(x=y=1\).

\(\text{#}Toru\)

\(2A=2x^2+2y^2+2xy-6x-6y+6\)

\(2A=\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)+4+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)

\(2A=\left(x+y-2\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-2\right)^2\ge0\\\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(y-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x;y\)

\(\Rightarrow2A\ge0\Rightarrow A\ge0\)

Vậy \(A_{min}=0\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\) hay \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Trần Nam Hải
Xem chi tiết
Lê gia bảo
Xem chi tiết
Trần Sỹ Hội
Xem chi tiết
Phạm Hữu Nam chuyên Đại...
Xem chi tiết
Bảy việt Nguyễn
Xem chi tiết
tung nguyen viet
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Bảo
Xem chi tiết
Jack Yasuo
Xem chi tiết
Đỗ Thị Quỳnh Như
Xem chi tiết