Question

tim GTNNcua da thuc:

H=x^2+y^2-xy-x+y+1

Answer 1

Lời giải:
$4H=4x^2+4y^2-4xy-4x+4y+4$

$=(4x^2-4xy+y^2)+3y^2-4x+4y+4$

$=(2x-y)^2-2(2x-y)+3y^2+2y+4$

$=(2x-y)^2-2(2x-y)+1+3(y^2+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9})+\frac{8}{3}$

$=(2x-y-1)^2+3(y+\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}\geq \frac{8}{3}$

$\Rightarrow H\geq \frac{2}{3}$
Vậy $H_{\min}=\frac{2}{3}$

Giá trị này đạt tại $2x-y-1=0$ và $y+\frac{1}{3}=0$
$\Leftrightarrow (x,y)=(\frac{1}{3}, \frac{-1}{3})$