Question

Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau :

A = -x^2 - 5x + 2

B = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1

C = -x^2 - 2y^2 + 2xy - y + 1

Answer 1

A = -x² - 5x + 2

= -(x² + 5x - 2)

= -(x² + 2.x.5/2 + 25/4 - 33/4)

= -(x + 5/2)² + 33/4

Do (x + 5/2)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ -(x + 5/2)² ≤ 0 với mọi x ∈ R

⇒ -(x + 5/2) + 33/4 ≤ 33/4 với mọi x ∈ R

⇒ GTLN của A là 33/4 khi x = -5/2

--------

B = x⁴ - 2x³ + 2x² - 2x + 1

= (x²)² - 2.x².x + x² + x² - 2x + 1

= (x² - x)² + (x - 1)²

Do (x² - x)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

(x - 1)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ (x² - x)² + (x - 1)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ GTNN của B là 0 khi x = 1

--------

C = -x² - 2y² + 2xy - y + 1

= -x² + 2xy - y² - y² - y + 1

= -(x² - 2xy + y²) - (y² + y - 1)

= -(x - y)² - (y² + 2.y.1/2 + 1/4 - 5/4)

= -(x - y)² - (y + 1/2)² + 5/4

Do (x - y)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ -(x - y)² ≤ 0 với mọi x ∈ R

(y + 1/2)² ≥ 0 với mọi x ∈ R

⇒ -(y + 1/2)² ≤ 0 với mọi x ∈ R

⇒ -(x - y)² - (y + 1/2)² ≤ 0 với mọi x ∈ R

⇒ -(x - y)² - (y + 1/2)² + 5/4 ≤ 5/4 với mọi x ∈ R

⇒ GTLN của C là 5/4 khi x = 1/2 và y = -1/2