Question

Tìm GTNN của \(M=\frac{1}{ab} +\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\) với a+b=1 và a;b>0

Answer 1

Lời gải:

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz và BĐT AM-GM:

$M=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}+\frac{1}{a^2+b^2}$

$\geq \frac{(1+1+1+1+1)^2}{2ab+2ab+a^2+ab+b^2+ab+a^2+b^2}=\frac{25}{2a^2+2b^2+6ab}$

$=\frac{25}{2(a^2+b^2+2ab)+2ab}$

$=\frac{25}{2(a+b)^2+2ab}=\frac{25}{2+2ab}\geq \frac{25}{2+2.\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{25}{2+\frac{2}{4}}=10$

Vậy  $M_{\min}=10$. Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{1}{2}$