a) x2 - 6x + 11 = ( x2 - 6x + 9 ) + 2 = ( x - 3 )2 + 2 ≥ 2 ∀ x
Dấu "=" xảy ra khi x = 3
=> GTNN của bthuc = 2 <=> x = 3
b) x2 - 20x + 101 = ( x2 - 20x + 100 ) + 1 = ( x - 10 )2 + 1 ≥ 1 ∀ x
Dấu "=" xảy ra khi x = 10
=> GTNN của bthuc = 1 <=> x = 10
c) x2 - 4xy + 5y2 + 10x - 22y + 28
= ( x2 - 4xy + 4y2 + 10x - 20y + 25 ) + ( y2 - 2y + 1 ) + 2
= [ ( x2 - 4xy + 4y2 ) + ( 10x - 20y ) + 25 ] + ( y - 1 )2 + 2
= [ ( x - 2y )2 + 2( x - 2y ).5 + 52 ] + ( y - 1 )2 + 2
= ( x - 2y + 5 )2 + ( y - 1 )2 + 2 ≥ 2 ∀ x, y
Dấu "=" xảy ra khi x = -3 ; y = 1
=> GTNN của bthuc = 2 <=> x = -3 ; y = 1
a) \(x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=\left(x-3\right)^2+2\)
ta có: \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)=> \(\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
dấu "=" xảy ra khi \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\)
Vậy biểu thức đạt GTNN là 2 khi chỉ khi x = 3
\(a,x^2-6x+11=x^2-2.x.3+9+2=\left(x-3\right)^2+2\)
Mà \(\left(x-3\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+2\ge2\)
\(\Rightarrow GTNN\)của \(x^2-6x+11\) là \(2\)
Dấu "=" khi và chỉ khi x=3
a) \(x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=\left(x-3\right)^2+2\)
Vì \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+2\ge2\forall x\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-3=0\)\(\Leftrightarrow x=3\)
Vậy GTNN của biểu thức là 2 \(\Leftrightarrow x=3\)
b) \(x^2-20x+101=x^2-20x+100+1=\left(x-10\right)^2+1\)
Vì \(\left(x-10\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(x-10\right)^2+1\ge1\forall x\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-10=0\)\(\Leftrightarrow x=10\)
Vậy GTNN của biểu thức là 1 \(\Leftrightarrow x=10\)
c) \(x^2-4xy+5y^2+10x-22y+28\)
\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(10x-20y\right)+25+\left(y^2-2y+1\right)+2\)
\(=\left(x-2y\right)^2+10\left(x-2y\right)+25+\left(y-1\right)^2+2\)
\(=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\)
Vì \(\left(x-2y+5\right)^2\ge0\forall x,y\), \(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)
\(\Rightarrow\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)
\(\Rightarrow\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\ge2\forall x,y\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2y+5=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+5=2y\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+5=2\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)
Vậy GTNN của biểu thức là 2 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)
b) tương tự a) nhé bạn :>
c) \(x^2-4xy+5y^2+10x-22y+28\)
\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(10x-20y\right)+\left(y^2-2y\right)+28\)
\(=\left(x-2y\right)^2+10\left(x-2y\right)+\left(y^2-2y+1\right)+25+2\)
\(=\left(x-2y\right)^2+2.\left(x-2y\right).5+5^2+\left(y-1\right)^2+2\)
\(=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\)
ta có: \(\left(x-2y+5\right)^2\)và \(\left(y-1\right)^2\)\(\ge0\)với mọi x; y
=> \(\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\ge2\)
dấu "=" xảy ra khi chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x-2y+5=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5+2y\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)
vậy biểu thức đạt GTNN là 2 khi chỉ khi x = -3 và y = 1
a. x2 - 6x + 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = ( x - 3 )2 + 2
Vì ( x - 3 )2\(\ge\)0\(\forall\)x => ( x - 3 )2 + 2\(\ge\)2
Dấu "=" xảy ra <=> ( x - 3 )2 = 0 <=> x = 3
Vậy GTNN của bt trên = 2 <=> x = 3
b. x2 - 20x + 101 = x2 - 20x + 100 + 1 = ( x - 10 )2 + 1
Vì ( x - 10 )2\(\ge\)0\(\forall\)x => ( x - 10 )2 + 1\(\ge\)1
Dấu "=" xảy ra <=> ( x - 10 )2 = 0 <=> x = 10
Vậy GTNN của bt trên = 1 <=> x = 10
c. x2 - 4xy + 5y2 + 10x - 22y + 28
= ( x2 - 4xy + 4y2 ) + ( 10x - 20y ) + ( y2 - 2y + 1 ) + 27
= ( x - 2y )2 + 10 ( x - 2y ) + 52 + ( y - 1 )2 + 2
= ( x - 2y + 5 )2 + ( y - 1 )2 + 2
Vì ( x - 2y + 5 )2\(\ge\)0 ; ( y - 1 )2\(\ge\)0 ( \(\forall x;y\))
=> ( x - 2y + 5 )2 + ( y - 1 )2 + 2\(\ge\)2
Dấu "=" xảy ra <=>\(\orbr{\begin{cases}\left(x-2y+5\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}}\)<=>\(\orbr{\begin{cases}x-2=-5\\y=1\end{cases}}\)<=>\(\orbr{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)
Vậy GTNN của bt trên = 2 <=>\(\orbr{\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\)
