Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Phương Thảo

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x+ y2

Biết x và y là các số thực thỏa mãn : x2 + y2 - xy = 4

Mong m.n giúp đõ. Thanks =)))

Thắng Nguyễn
19 tháng 4 2017 lúc 8:16

Bên học24 mình đã xài \(\Delta\) vậy bên này mình sẽ xài HĐT kiểu Cosi như ý bn :))

Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\) ta có:

\(x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\)

\(\Rightarrow A\le4+\frac{A}{2}\Rightarrow A\le8\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\pm2\)

*)Nếu \(xy\ge0\Rightarrow A\ge4\)

*)Nếu \(xy< 0\). WLOG \(x>0;y< 0\)\(y\rightarrow-z\left(z>0\right)\)

Have \(\frac{A}{4}=\frac{x^2+y^2}{4}=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}\)

\(=1+\frac{xy}{x^2+y^2+xy}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x^2+z^2\ge2xz\\x^2+z^2+xz\ge3xz\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{xz}{x^2+z^2+zx}\le\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{A}{4}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\ge1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow A\ge\frac{8}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=-\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)


Các câu hỏi tương tự
Vũ Tuấn Minh
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Nguyễn Xuân An
Xem chi tiết
Nguyễn Phương Uyên
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Tiên Nguyễn Thủy
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Tiên Nguyễn Thủy
Xem chi tiết
Quyết Tâm Chiến Thắng
Xem chi tiết