Bài toán thiếu điều kiện \(x\ge1;y\ge2;z\ge3\)
Ta có : \(M=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Áp dụng bđt Cauchy, ta có : \(\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{\sqrt{\left(x-1\right).1}}{x}\le\frac{x-1+1}{2x}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
Tương tự : \(\frac{\sqrt{y-2}}{y}=\frac{\sqrt{\left(y-2\right).2}}{\sqrt{2}.y}\le\frac{y-2+2}{2\sqrt{2}.y}=\frac{y}{2\sqrt{2}y}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{z-3}}{z}=\frac{\sqrt{\left(z-3\right).3}}{\sqrt{3}z}\le\frac{z-3+3}{2\sqrt{3}z}=\frac{z}{2\sqrt{3}z}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng các bđt theo vế , được : \(M\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}z-3=3\\y-2=2\\x-1=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\) khi và chỉ khi (x;y;z) = (2;4;6)
