Question

Tìm giá trị của a để a + \(\sqrt{15}\) và \(\frac{1}{a}\)_ \(\sqrt{15}\) là số nguyên

Answer 1

Đặt 

\(\hept{\begin{cases}a+\sqrt{15}=x\\\frac{1}{a}-\sqrt{15}=y\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=x-\sqrt{15}\\\frac{1}{x-\sqrt{15}}-\sqrt{15}=y\left(2\right)\end{cases}}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow1-\sqrt{15}x+15=xy-\sqrt{15}y\)

\(\Leftrightarrow16-xy=\sqrt{15}\left(x-y\right)\)

Ta nhận thấy vế trái là số nguyên còn vế phải là số vô tỷ nên để 2 vế bằng nhau thì (x - y) = 0, hay x = y

\(\Leftrightarrow a+\sqrt{15}=\frac{1}{a}-\sqrt{15}\)

\(\Leftrightarrow a^2+2\sqrt{15}a-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\sqrt{15}\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=4-\sqrt{15}\\a=-4-\sqrt{15}\end{cases}}\)