Lời giải:
Ta có:
$(x+1)(x+2)^2(x+3)=[(x+1)(x+3)](x+2)^2=(x^2+4x+3)(x^2+4x+4)$
$=a(a+1)$ (đặt $x^2+4x+3=a$)
$=a^2+a=(a+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$
$=(x^2+4x+\frac{7}{2})^2-\frac{1}{4}\geq 0-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}$
Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{-1}{4}$. Giá trị này đạt được khi $x^2+4x+\frac{7}{2}=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{2}}{2}$