Question

Tìm các số x;y;z biết: x^2+y^2+z^2=12 và x+y+z=6

Answer 1

Áp dụng bđt bunhia cho 2 bộ số (1 ; 1 ; 1) và (x ; y ; z) ta có: 

(1 + 1 + 1).(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)² 

<=> 3(x² + y² + z²) ≥ 36 < do x+y+z=6 theo đề bài > 

<=> x² + y² + z² ≥ 12 => đpcm 

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2 

----------------------------- 

2) xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z với x,y,z là các số thực dương 

Áp dụng bđt cô si cho 2 số thực dương ta có: 

xy/z + yz/x ≥ 2y 
yz/x + zx/y ≥ 2z 
xy/z + zx/y ≥ 2x 

Cộng vế với vế 3bđt trên ta được : 

xy/z + yz/x + zx/y ≥ x + y + z => đpcm 

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z 

----------------------------------- 

3) x² + 5y² - 4xy + 2x - 6y +3 > 0 với mọi x , y 

<=> (x² - 4xy + 4y²) + (2x - 4y) + 1 + (y² -2y + 1) + 1 > 0 

<=> [(x - 2y)² + 2(x - 2y) + 1] + (y - 1)² + 1 > 0 

<=> (x - 2y + 1)² + (y - 1)² + 1 > 0 => luôn đúng với mọi x,y 

=> đpcm 

Có gì không hiểu bạn cứ hỏi nhé ^_^