Question

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:

\(x^3+x^2y+xy^2+y^3=4\left(x^2+y^2+xy+3\right)\)

Answer 1

\(x^3+x^2y+xy^2+y^3=4\left(x^2+y^2+xy+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-2xy\left(x+y\right)=4\left(x+y\right)^2-4xy+12\)

Đặt \(a=x+y;b=xy\). Khi đó ta có: \(a^3-2ba=4a^2-4b+12\)

\(\Rightarrow a^3-4a^2-12=2b\left(a-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^3-4a^2-12\right)⋮\left(a-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^3-2a^2-2a^2+4a-4a+8-20\right)⋮\left(a-2\right)\)

\(\Rightarrow20⋮\left(a-2\right)\)

Đến đây em xét trường hợp rồi giải nhé.