Hoàng Việt Hà

Tìm các số nguyên tố x ,y ,z thỏa mãn $(x+y)^2 - x^5 = y^3 - z^3$

Akai Haruma
22 tháng 2 lúc 17:06

Lời giải:

Giả sử $x,y,z$ đều lẻ hoặc đều chẵn. Khi đó $(x+y)^2-x^5$ lẻ, còn $y^3-z^3$ chẵn (vô lý)

Do đó trong $x,y,z$ sẽ tồn tại 1 số chẵn hoặc 2 số chẵn.

TH1: $x,y,z$ tồn tại 2 số chẵn, 1 số lẻ.

- Nếu $x,y$ chẵn, $z$ lẻ thì $x=y=2$. Thay vào đề:

$4-32=8-z^3\Rightarrow z^3=36$ (loại)

- Nếu $x,z$ chẵn, $y$ lẻ thì $x=z=2$. Thay vô:

$(2+y)^2-32=y^3-8$

$\Leftrightarrow y^3-y^2-4y+20=0$

$\Leftrightarrow (y-2)(y-1)(y+2)=-16<0$ (vô lý do $y\geq 3$)

- Nếu $y,z$ chẵn, $x$ lẻ thì $y=z=2$. Thay vô có:

$(x+2)^2-x^5=0$

$\Rightarrow x^5=(x+2)^2$ nên $x$ là scp (vô lý)

TH2: $x,y,z$ tồn tại $1$ số chẵn, 2 số lẻ. 

- Nếu $x$ chẵn, $x=2$ thì thay vô có:

$(y+2)^2=32-y^3+z^3$. $y,z$ lẻ nên $(y+2)^2$ lẻ, $32-y^3+z^3$ chẵn (vô lý- loại)

- Nếu $y$ chẵn, $y=2$ thì thay vô có:

$(x+2)^2-x^5=8-z^3$. $x,z$ lẻ nên $(x+2)^2-x^5$ chẵn, còn $8-z^3$ lẻ (vô lý-loại)

- Nếu $z$ chẵn, $z=2$ thì thay vô có:

$(x+y)^2-x^5=y^3-8$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=x^5+y^3-8$

Mà $x^5+y^3-8\geq 9x^2+3y^2-8$

$\Rightarrow 2xy\geq 8x^2+2y^2-8$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+7x^2+y^2\leq 8$ (vô lý vì $x,y\geq 3$)

Vậy không tồn tại $x,y,z$ thỏa mãn.

 

 

 

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN