Question

Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn y³ =x³ + x² + x + 1

Answer 1

Ta luôn có \(y^3>x^3\left(x;y\in Z\right)\left(1\right)\)

Xét \(\left(x+2\right)^3-y^3=x^3+6x^2+12x+8-x^3-x^2-x-1\)

\(=5x^2+11x+7=5\left(x^2+2.\frac{11}{10}x+\frac{121}{100}\right)+\frac{19}{20}\)

\(=5\left(x+\frac{11}{10}\right)^2+\frac{19}{20}>0\forall x\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow y^3=\left(x+1\right)^3\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x=0\Leftrightarrow2x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)Đến Đây thay vào tìm y là xong