Ta có:
\(p^2-2q^2=1\Rightarrow p^2=2q^2\)mà p lẻ. Đặt p = 2k + 1 (k là số tự nhiên)
Ta có:
\(\left(2k+1\right)^2=2q^2+1\Rightarrow q^2+1=2k\left(k+1\right)\Rightarrow q=2\)(vì q là số nguyên tố) tìm được p = 3
Vậy: \(\left(p;q\right)\in\left\{3;2\right\}\)
\(p^2-2q^2=1\)
\(\Rightarrow p^2=2q^2+1\)
Do \(2q^2+1\)lẻ
\(\Rightarrow p^2\)là số chính phương lẻ
Đặt \(p=2k+1\)
\(\Rightarrow\left(2k+1\right)^2=2q^2+1\)
\(\Rightarrow4k^2+4k+1=2q^2+1\)
\(\Rightarrow2k^2+2k=q^2\)
\(\Rightarrow2k\left(k+1\right)=q^2\)
Do q là số chính phương => k hoặc k + 1 bằng 2
=> k => p => q
Kết luận.....
Ta có: \(p^2-2q^2=1\)
\(\Rightarrow2q^2=p^2-1\)
+) Nếu p chia hết cho 3 thì p = 3 (vì p nguyên tố)
Thay p = 3 vào phương trình, ta được: \(2q^2=8\Rightarrow q^2=4\Rightarrow q=2\left(tm\right)\)
+) Nếu p không chia hết cho 3 thì p2 chia 3 dư 1
\(\Rightarrow p^2-1⋮3\Rightarrow2q^2⋮3\)
Mà \(\left(2,3\right)=1\)nên \(q^2⋮3\Rightarrow q=3\)(vì q nguyên tố)
Thay q = 3 vào phương trình, ta được: \(p^2=19\)(không có p nguyên tố)
Vậy \(\left(p;q\right)=\left(3;2\right)\)
