Ta có hình minh họa:
Qua C kẻ đường thẳng song song với AM.
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC
Gọi D là giao của hai đường thẳng vừa dựng được ở trên.
Xét tứ giác ADCM ta có: AD // MC (gt); CD // AM (gt)
Suy ra tứ giác ADCM là hình bình hành(Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành)
AD = MC; MC = MB (gt); ⇒ AD = BM (tính chất bác cầu)
Xét tứ giác ABMD có:
AD // BM (gt)
AD = BM (cmt)
Suy ra tứ giác ABMD là hình bình hành(tứ giác có 1 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành)
Gọi G; I lần lượt là giao điểm của BD với AM và AC khi đó:
G là trung điểm của AM (hình bình hành 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) Suy ra G trùng E vì mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm duy nhất.
⇒ BE = ED
I ∈ ED ⇒ IE < ED = BE
Kết luận: BE > IE
Qua M, kẻ MK//BI(K∈IC)
Xét ΔAMK có
E là trung điểm của AM
EI//MK
Do đó: I là trung điểm của AK
=>AI=IK(1)
Xét ΔBEC có
M là trung điểm của BC
MK//BI
Do đó: K là trung điểm của IC
=>KI=KC(2)
Từ (1),(2) suy ra AI=IK=KC
Xét ΔAMK có
E,I lần lượt là trung điểm của AM,AK
=>EI là đường trung bình của ΔAMK
=>\(EI=\frac{MK}{2}\)
=>MK=2EI
Xét ΔBIC có
M,K lần lượt là trung điểm của CB,CI
=>MK là đường trung bình của ΔBIC
=>MK//BI và \(MK=\frac{BI}{2}\)
=>\(\frac{BI}{2}=2EI\)
=>BI=4EI
=>BE=3EI
Qua M, kẻ MK//BI(K∈IC)
Xét ΔAMK có
E là trung điểm của AM
EI//MK
Do đó: I là trung điểm của AK
=>AI=IK(1)
Xét ΔBEC có
M là trung điểm của BC
MK//BI
Do đó: K là trung điểm của IC
=>KI=KC(2)
Từ (1),(2) suy ra AI=IK=KC
Xét ΔAMK có
E,I lần lượt là trung điểm của AM,AK
=>EI là đường trung bình của ΔAMK
=>\(EI=\frac{MK}{2}\)
=>MK=2EI
Xét ΔBIC có
M,K lần lượt là trung điểm của CB,CI
=>MK là đường trung bình của ΔBIC
=>MK//BI và \(MK=\frac{BI}{2}\)
=>\(\frac{BI}{2}=2EI\)
=>BI=4EI
=>BE=3EI
