Bài này giải bằng Bunhiacopxki (kết hợp nguyên lý Dirichlet) chứ AM-GM thì e là không ổn:
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số \(a^2;b^2;c^2\) luôn có 2 số cùng phía so với 1, không mất tính tổng quát, giả sử đó là \(b^2\) và \(c^2\)
\(\Rightarrow\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow b^2c^2+1\ge b^2+c^2\)
\(\Rightarrow b^2c^2+2b^2+2c^2+4\ge3b^2+3c^2+3\)
\(\Rightarrow\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(b^2+c^2+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a^2+1+1\right)\left(1+b^2+c^2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)