Question

Số phức z thỏa mãn z - 2 i z - 2  là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z - 1 + z - i

A.  5

B.  5 2

C.  2 5

D.  3 5

Answer 1

Đặt z = a + bi với  a , b ∈ R

Khi đó

z - 2 i z - 2 = a + b - 2 i a - 2 + b i = a + b - 2 i a - 2 - b i a - 2 2 + b 2 = a a - 2 + b b - 2 a - 2 2 + b 2 + a - 2 b - 2 - a b a - 2 2 + b 2

z - 2 i z - 2  là số ảo khi và chỉ khi 

a a - 2 + b b - 2 a - 2 2 + b 2 = 0 ⇔ a 2 + b 2 = 2 a + b a - 2 2 + b 2 ≠ 0

Ta có

P = z - 1 + z - i = a - 1 + b i + a + b - 1 i = a - 1 2 + b + a 2 + b - 1 2 = a 2 + b 2 - 2 a + 1 + a 2 + b 2 - 2 b + 1 = 2 a + b - 2 a + 1 + 1 a + b - 2 a + 1 = 1 + 2 b + 1 + 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  2 a + b = a 2 + b 2 ≥ 1 2 a + b 2

Suy ra  a + b ≤ 4

Do đó  P 2 ≤ 2 2 + 2 a + b ≤ 20 ⇔ P ≤ 2 5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2

Vậy maxP =  2 5  đạt được khi z = 2 + 2i

Đáp án C