C1: \(a\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+b\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)+c\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)\)
\(=a\left(b+c\right)\left(b^2-a^2-c^2+a^2\right)+b\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)+c\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)\)
\(=\left(a^2-b^2\right)\left(ac+bc-ab-ac\right)+\left(c^2-a^2\right)\left(bc+ab-ab-ac\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a+b\right)b\left(c-a\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)c\left(b-a\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(ab+b^2-c^2-ac\right)=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)\)
C2: Giả sử \(a\ne b\ne c\)
Xét đa thức \(f\left(a\right)=a\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+b\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)+c\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)\). Dễ thấy \(degf\left(a\right)=3\) (bậc bằng 3) và hệ số cao nhất của f(a) là \(c-b\).
Ta có: \(f\left(b\right)=b\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+b\left(c+b\right)\left(c^2-b^2\right)+c\left(b+b\right)\left(b^2-b^2\right)=0\). Tương tự \(f\left(c\right)=0\).
Do f(a) là đa thức bậc 3 nên chỉ nhận tối đa 3 nghiệm. Theo định lí Bezout ta có:
\(f\left(a\right)=\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a+x\right)\). Đồng nhất hệ số ta được \(x=b+c\).
