Question

Phương trình x 4 − 2 m + 1 x 2 + 2 m + 1 = 0  (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

A. m = 2 hoặc  m = − 4 9

B. m = 4 hoặc  m = − 4 9

C. m =4 hoặc m=-2

D.m = 3 hoặc m=-1

Answer 1

Chọn B

Đặt t = x 2 , t ≥ 0 .

Phương trình trở thành: t 2 − 2 m + 1 t + 2 m + 1 = 0          (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t₂ > t₁ >  0 .

Δ ' > 0 P > 0 S > 0

⇔ m + 1 2 − 2 m + 1 > 0 2 m + 1 > 0 2 m + 1 > 0 ⇔ − 1 2 < m ≠ 0

Khi đó PT (2) có bốn nghiệm là: − t 2 ; − t 1 ; t 1 ; t 2  

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi : 

− t 2 + t 1 = − 2 t 1 − t 1 + t 2 = 2 t 1 ⇔ t 2 = 3 t 1 ⇔ t 2 = 9 t 1

Theo định lý viet thì : t 1 + t 2 = 2 m + 1 t 1 t 2 = 2 m + 1

  ⇒ t 1 + 9 t 1 = 2 m + 1   t 1 9 t 1 = 2 m + 1 ⇔ 10 t 1 = 2 m + 1       ( * ) 9 t 1 2 = 2 m + 1         ( * * ) .

Từ (*) suy ra: 5 t 1 =    m + ​ 1 ⇔ m = 5 t 1 − 1 thay vào (**) ta được:

9 t 1 2 = 2 ( 5 t 1 − 1 ) ​ + 1    ⇔ 9 t 1 2 − 10. t 1 + ​ 1 = 0   ⇔ t 1 =    1 9 ⇒ m =    − 4 9 t 1 =    1 ⇒ m =    4

Vậy m = 4 hoặc m = − 4 9  là những giá trị cần tìm