Phương pháp : xét giá trị riêng
ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\) (*)
Nhận thấy vai trò của a,b,c như nhau nên thay a= - b ta đc:
\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
=\(\left(-b+b+c\right)\left(-b.b+bc-b.c\right)+b.b+c\)
=\(c.\left(-b^2\right)+b^2.c\)
=0
Suy ra (*) chia hết cho a+b. Mà vai trò của a,b,c như nhau nên (*) chia hết cho (b+c) và (c+a)
=>\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc\)
=\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right).k\) (**)
ta cho các biến nhận giá trị riêng, chẳng hạn: a=1 ; b=2 ; c=3 thây vào (*) ta đc:
\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
=(1+2+3)(1.2+2.3+3.1)-1.2.3=60 (1)
Mặt khác thay a=1 ; b=2 ; c=3 vào (**)ta đc:
\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
=(1+2)(2+3)(3+1).k=60.k (2)
từ (1),(2)=> k=60:60=1
Vậy \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
(a+b)(b+c)(c+a) (Hằng đẳng thức mở rộng)
