Điều kiện xác định phương trình \(-2\le x\le2.\)
Phương trình tương đương với \(3x-2=0\) hoặc
\(\frac{1}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}=\frac{2}{\sqrt{9x^2+16}}\leftrightarrow\sqrt{9x^2+16}=2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}\)
Trường hợp 1. \(3x-2=0\leftrightarrow x=\frac{3}{2}.\)
Trường hợp 2. \(\sqrt{9x^2+16}=2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}\).
Ta đánh giá vế trái như sau: theo bất đẳng thức Bunhia \(\sqrt{9x^2+16}\ge\sqrt{6}x+\frac{4}{\sqrt{3}}\).
Mặt khác vế phải không vượt quá \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\cdot\sqrt{\frac{8x+16}{3+2\sqrt{2}}}+\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt{\frac{32-16x}{\sqrt{2}}}\le\sqrt{6}x+\frac{4}{\sqrt{3}}\)
Vì vậy ta có dấu bằng xảy ra, hay \(x=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)
