Gọi ước chung lớn nhất của 11a + 2b và 18a + 5b là d ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}11a+2b⋮d\\18a+5b⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(11a+2b\right).5⋮d\\\left(18a+5b\right).2⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}55a+10b⋮d\\36a+10b⋮d\end{matrix}\right.\)
⇒ 55a + 10b - (36a + 10b) ⋮ d ⇒ 55a + 10b - 36a - 10b ⋮ d ⇒19a⋮d (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}11a+2b⋮d\\18a+5b⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(11a+2b\right).18⋮d\\\left(18a+5b\right).11⋮d\end{matrix}\right.\) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}198a+36b⋮d\\198a+55b⋮d\end{matrix}\right.\)
⇒198a + 55b -(198a + 36b) ⋮ d⇒198a + 55b -198a -36b ⋮d⇒ 19b⋮d(2)
Kết hợp(1) và (2) ta có: d là ước chung của 19a và 19b
19a = 19.a; 19b = 19.b và (a;b) = 1⇒ ƯCLN(19a; 19b) = 19
⇒ d = 19 ⇒ ƯC(11a + 2b; 18a + 5b) = {1; 19) (đpcm)
Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(11a+2b, 18a+5b)$
$\Rightarrow 11a+2b\vdots d; 18a+5b\vdots d$
$\Rightarrow 5(11a+2b)-2(18a+5b)\vdots d$
$\Rightarrow 19\vdots d$
$\Rightarrow d=1$ hoặc $d=19$
Vậy ta có đpcm.
