Question

Nếu a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd và a,b,c,d >0 thì a=b=c=d

Answer 1

giả sử a=b=c=d => \(a^4+a^4+a^4+a^4=4.a.a.a.a\Leftrightarrow4a^4=4a^4\)=> thỏa mãn điều kiện đầu bài

=> điểu giả sử đúng

Answer 2

Áp đụng BĐT co si ta có:

a⁴+b⁴>2a²b²

b⁴+c⁴>2b²c²

c⁴+d⁴>2c²d²

d⁴+a⁴>2a²d²

=>2(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)>2(a²b²+b²c²+c²d²+a²d²)

=>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴>a²b²+b²c²+c²d²+a²d²(1)

Dấu"=" xảy ra <=>a=b=c=d

Tiếp tục ta có:

a²b²+c²d²>2abcd

b²c²+a²d²>2bcd

=>a²b²+b²c²+c²d²+a²d²>4abcd(2)

Từ 1 và 2 =>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴>4abcd

Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=d

=>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd<=>a=b=c=d