Question

Mọi người giúp miik câu 17 nha

Answer 1

Câu 17:

a: Xét tứ giác BEHD có \(\widehat{BEH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEHD là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)

=>\(\widehat{CNE}=\widehat{CAK}\)

Xét (O) có

\(\widehat{CAK}\) là góc nội tiếp chắn cung CK

\(\widehat{CIK}\) là góc nội tiếp chắn cung CK

Do đó: \(\widehat{CAK}=\widehat{CIK}\)

Xét ΔCEN và ΔCIE có

\(\widehat{CEN}=\widehat{CIE}\)

\(\widehat{ECN}\) chung

Do đó: ΔCEN~ΔCIE

=>\(\dfrac{CE}{CI}=\dfrac{CN}{CE}\)

=>\(CE^2=CN\cdot CI\)

c:

ΔCNE~ΔCEI

=>\(\dfrac{NE}{EI}=\dfrac{NC}{CE}\)

=>\(NE=\dfrac{NC\cdot EI}{CE}\)

AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH vì \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^0\)

mà P là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAEF

nên P là trung điểm của AH

=>PA=PH=PE=PF

PE=PF nên P nằm trên đường trung trực của EF(1)

Ta có: ΔOBC cân tại O

mà OM là đường cao

nên M là trung điểm của BC

Xét tứ giác BEFC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\)

nên BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>BEFC nội tiếp (M)

=>ME=MF

=>M nằm trên đường trung trực của EF(2)

Ta có: BEFC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{FEC}=\widehat{FBC}\)

=>\(\widehat{NEC}=\widehat{FBC}\)

mà \(\widehat{FBC}=\widehat{KAC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{NEC}=\widehat{KAC}\)

=>\(\widehat{NEC}=\widehat{KIC}\)

AEHF nội tiếp

=>\(\widehat{AHE}=\widehat{AFE}\)

mà \(\widehat{AHE}+\widehat{KHE}=180^0\)(hai góc kề bù)

và \(\widehat{AFE}+\widehat{CFE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{KHE}=\widehat{CFE}\)

Xét ΔCFN và ΔKHE có

\(\widehat{CFN}=\widehat{KHE}\)

\(\widehat{FCN}=\widehat{HKE}\left(=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AI}\right)\)

Do đó: ΔCFN~ΔKHE

=>\(\dfrac{CF}{KH}=\dfrac{FN}{HE}=\dfrac{CN}{KE}\)

=>\(FN=\dfrac{HE\cdot CN}{KE}\)

\(\dfrac{NE}{NF}=\dfrac{IE\cdot NC}{CE}:\dfrac{HE\cdot CN}{KE}=\dfrac{IE\cdot KE}{HE\cdot CE}\)

Xét ΔIEA và ΔBEK có

\(\widehat{IEA}=\widehat{BEK}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{IAE}=\widehat{EKB}\left(=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{IB}\right)\)

Do đó: ΔIEA~ΔBEK

=>\(\dfrac{IE}{BE}=\dfrac{EA}{EK}\)

=>\(IE\cdot EK=EA\cdot EB\)

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔCEB vuông tại E có

\(\widehat{EAH}=\widehat{ECB}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔAEH~ΔCEB

=>\(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{EH}{EB}\)

=>\(EA\cdot EB=EH\cdot EC\)

=>\(IE\cdot EK=EH\cdot EC\)

=>NE/NF=1

=>NE=NF

=>N nằm trên đường trung trực của EF(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra M,N,P thẳng hàng